ABC-vermoeden

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Ga naar: navigatie, zoeken

Het ABC-vermoeden is een vermoeden (d.w.z. een uitspraak waarvan men vermoedt, maar niet heeft bewezen, dat hij waar is) uit de getaltheorie.

Inhoud

[bewerk] Het vermoeden

Het ABC-vermoeden is een uitspraak over gehele getallen A, B en C=A+B. Voor een getal n wordt rad(n), het radicaal van n gedefinieerd als het product van alle verschillende priemgetallen in de ontbinding van n. Als bijvoorbeeld n = 2^5 \times 3^7 \times 11 \times 17^2, dan is rad(n) = 2 \times 3 \times 11 \times 17 = 1122. Nu kunnen we de kwaliteit van een drietal definieren als

q = \frac{\log c}{\log rad(abc)}

dus c = rad(abc)q

Het ABC-vermoeden zegt nu:

Voor elke α > 1 zijn er slechts eindig veel getallen a, b en c met ggd(a, b) = 1, zodanig dat q \geq \alpha

Let wel dat we moeten stellen dat ggd(a, b) = 1 anders kunnen we elke a, b en c uit een drietal met 2 vermenigvuldigen, en wordt c twee keer zo groot zonder dat de kwaliteit toeneemt, en kunnen we dus drietallen construeren met willekeurig grote kwaliteit.

Het ABC-vermoeden is voorlopig slechts een vermoeden, er lijkt nog geen uitzicht op een bewijs in de nabije toekomst.

Er bestaat een rijtje van records, waarbij de grootst bekende waarde van q bepalend is. Momenteel (juli 2007) is het record q = 1.62991 voor de som 2+3^{10}\times 109=23^5.

Dat het ABC-vermoeden een sterke uitspraak is, kan bijvoorbeeld worden gezien doordat het zeer eenvoudig de stelling van Fermat bewijst. Stel dat bewezen zou worden dat er geen getallen a en b zijn met q > 2. Dan zou dat voor getallen a, b en c met an + bn = cn en ggd(a,b)=1 betekenen dat c^n<(rad(a^nb^nc^n))^2=(rad(abc))^2\leq (abc)^2< c^6. Het zou dus betekenen dat oplossingen van Fermat alleen mogelijk zijn voor n < 6. Voor n < 6 is de stelling van Fermat echter al sinds 1825 bewezen, dus volgt hieruit dat de stelling van Fermat waar is.

[bewerk] Open problemen

Er zijn nog veel onopgeloste problemen omtrent het ABC-vermoeden. Hieronder is een selectie:[1]

  • Is er een bovengrens H, zodat q < H voor alle abc-drietallen? Dit wordt ook wel de zwakke versie van het ABC-vermoeden genoemd.
  • Het is bekend dat er voor iedere n een c te vinden is zodanig dat deze c in n abc-drietallen voorkomt. Maar het is nog niet bekend wat de kleinste c is die in n drietallen voorkomt.
  • Is er ook voor iedere n een b die in n verschillende drietallen voorkomt?
  • Wat zijn de waarden die b-a aan kan nemen. Kan het verschil iedere willekeurige waarde aannemen? En zijn er waarden die vaak of minder vaak voorkomen?
  • Bij een abc-drietal a, b, c is altijd een van de getallen deelbaar door 2. Dit komt omdat twee oneven getallen opgeteld altijd even zijn. Maar is er voor elke n een drietal waarbij a, b en c niet deelbaar zijn door 3, 4, 5, ..., n?
  • Zijn er oneindig veel abc-tweelingen, dit wil zeggen twee drietallen met gelijke c en gelijke kwaliteit?

[bewerk] Andere definitie van kwaliteit

Naast de standaard definitie van kwaliteit is het ook mogelijk om te kijken naar het product van a, b en c, in plaats van alleen naar c.[2] Nu geldt dus:

\rho = \frac{\log abc}{\log rad(abc)}

Dit worden ABC-Szpiro-drietallen genoemd

De grootste gevonden kwaliteit van een Szpiro-drietal is 4,41901, voor 13\times 9^6+2^{30}\times 5=3^{13}\times 11^2\times 31.


[bewerk] Externe link

[bewerk] Referenties

  1. ^ http://www.rekenmeemetabc.nl/?item=sub_17
  2. ^ http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html#Ten%20%3Ci%3Eabc%3C/i%3E-Szpiro
 
Persoonlijke instellingen