ABC-vermoeden

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Het ABC-vermoeden is een vermoeden (d.w.z. een uitspraak waarvan men vermoedt, maar niet heeft bewezen, dat hij waar is) uit de getaltheorie.

Inhoud

1 Het vermoeden
2 Open problemen
3 Andere definitie van kwaliteit
4 Externe link
5 Referenties

[bewerk] Het vermoeden

Het ABC-vermoeden is een uitspraak over gehele getallen A, B en C=A+B. Voor een getal n wordt $r a d (n)$ , het radicaal van n gedefinieerd als het product van alle verschillende priemgetallen in de ontbinding van n. Als bijvoorbeeld $n = 2^5 \times 3^7 \times 11 \times 17^2$ , dan is $rad(n) = 2 \times 3 \times 11 \times 17 = 1122$ . Nu kunnen we de kwaliteit van een drietal definieren als

$q = \frac{\log c}{\log rad(abc)}$

dus c = rad(abc)^q

Het ABC-vermoeden zegt nu:

Voor elke

α > 1

zijn er slechts eindig veel getallen a, b en c met ggd(a, b) = 1, zodanig dat $q \geq \alpha$

Let wel dat we moeten stellen dat ggd(a, b) = 1 anders kunnen we elke a, b en c uit een drietal met 2 vermenigvuldigen, en wordt c twee keer zo groot zonder dat de kwaliteit toeneemt, en kunnen we dus drietallen construeren met willekeurig grote kwaliteit.

Het ABC-vermoeden is voorlopig slechts een vermoeden, er lijkt nog geen uitzicht op een bewijs in de nabije toekomst.

Er bestaat een rijtje van records, waarbij de grootst bekende waarde van $q$ bepalend is. Momenteel (juli 2007) is het record $q = 1.62991$ voor de som $2+3^{10}\times 109=23^5$ .

Dat het ABC-vermoeden een sterke uitspraak is, kan bijvoorbeeld worden gezien doordat het zeer eenvoudig de stelling van Fermat bewijst. Stel dat bewezen zou worden dat er geen getallen a en b zijn met $q > 2$ . Dan zou dat voor getallen a, b en c met $a n + b n = c n$ en ggd(a,b)=1 betekenen dat $c^n<(rad(a^nb^nc^n))^2=(rad(abc))^2\leq (abc)^2< c^6$ . Het zou dus betekenen dat oplossingen van Fermat alleen mogelijk zijn voor $n < 6$ . Voor $n < 6$ is de stelling van Fermat echter al sinds 1825 bewezen, dus volgt hieruit dat de stelling van Fermat waar is.

[bewerk] Open problemen

Er zijn nog veel onopgeloste problemen omtrent het ABC-vermoeden. Hieronder is een selectie:^[1]

Is er een bovengrens H, zodat $q < H$ voor alle abc-drietallen? Dit wordt ook wel de zwakke versie van het ABC-vermoeden genoemd.
Het is bekend dat er voor iedere n een c te vinden is zodanig dat deze c in n abc-drietallen voorkomt. Maar het is nog niet bekend wat de kleinste c is die in n drietallen voorkomt.
Is er ook voor iedere n een b die in n verschillende drietallen voorkomt?
Wat zijn de waarden die b-a aan kan nemen. Kan het verschil iedere willekeurige waarde aannemen? En zijn er waarden die vaak of minder vaak voorkomen?
Bij een abc-drietal a, b, c is altijd een van de getallen deelbaar door 2. Dit komt omdat twee oneven getallen opgeteld altijd even zijn. Maar is er voor elke n een drietal waarbij a, b en c niet deelbaar zijn door 3, 4, 5, ..., n?
Zijn er oneindig veel abc-tweelingen, dit wil zeggen twee drietallen met gelijke c en gelijke kwaliteit?

[bewerk] Andere definitie van kwaliteit

Naast de standaard definitie van kwaliteit is het ook mogelijk om te kijken naar het product van a, b en c, in plaats van alleen naar c.^[2] Nu geldt dus:

$\rho = \frac{\log abc}{\log rad(abc)}$