ABC-vermoeden

Het ABC-vermoeden is een vermoeden (dat wil zeggen een uitspraak waarvan men vermoedt, maar niet heeft bewezen, dat zij waar is) uit de getaltheorie. Het vermoeden werd geformuleerd door Joseph Oesterlé en David Masser in 1985.

In augustus 2012 presenteerde de Japanse wiskundige Shinichi Mochizuki van de Universiteit van Kioto een bewijs van het vermoeden, dat sindsdien door collegawiskundigen wordt gecontroleerd op zijn correctheid. Het bewijs wordt zeer serieus genomen vanwege de goede staat van dienst van Mochizuki.

Het vermoeden

Het ABC-vermoeden is een uitspraak over gehele getallen A, B en C=A+B. Voor een getal n wordt $rad(n)$, het radicaal van n gedefinieerd als het product van alle verschillende priemgetallen in de ontbinding van n. Als bijvoorbeeld

$n = 2^5 \times 3^7 \times 11 \times 17^2 = 222479136$, dan is $rad(n) = 2 \times 3 \times 11 \times 17 = 1122$

kunnen we de kwaliteit van een drietal definiëren als

$q = \frac{\log c}{\log rad(abc)}$

dus c = rad(abc)^q

Het ABC-vermoeden zegt nu:

Voor elke $\alpha>1$ zijn er slechts eindig veel getallen a, b en c met ggd(a, b) = 1, zodanig dat $q \geq \alpha$

Let wel dat we moeten stellen dat ggd(a, b) = 1 anders kunnen we elke a, b en c uit een drietal met 2 vermenigvuldigen, en wordt c twee keer zo groot zonder dat het radicaal toeneemt, en kunnen we dus drietallen construeren met willekeurig grote kwaliteit.

Het ABC-vermoeden is voorlopig slechts een vermoeden, zolang het gepresenteerde bewijs niet is geverifieerd.

Er bestaat een rijtje van records, waarbij de grootst bekende waarde van $q$ bepalend is. Momenteel (mei 2013) is het record $q=1,6463$ voor de som $3^6+2^4\times7^2\times19=5^6$.

Dat het ABC-vermoeden een sterke uitspraak is, kan bijvoorbeeld worden gezien doordat het zeer eenvoudig de stelling van Fermat bewijst. Stel dat bewezen zou worden dat er geen getallen a en b zijn met $q>2$. Dan zou dat voor getallen a, b en c met

$a^n+b^n=c^n$ en ggd(a,b)=1

betekenen dat

$c^n<(rad(a^nb^nc^n))^2=(rad(abc))^2\leq (abc)^2< c^6$.

Het zou dus betekenen dat oplossingen van Fermat alleen mogelijk zijn voor $n<6$. Voor $n<6$ is de stelling van Fermat echter al sinds 1825 bewezen, dus volgt hieruit dat de stelling van Fermat waar is.

Open problemen

Er zijn nog veel onopgeloste problemen omtrent het ABC-vermoeden. Hieronder is een selectie:

• Is er een bovengrens H, zodat $q < H$ voor alle abc-drietallen? Dit wordt ook wel de zwakke versie van het ABC-vermoeden genoemd.
• Het is bekend dat er voor iedere n een c te vinden is zodanig dat deze c in n abc-drietallen voorkomt. Maar het is nog niet bekend wat de kleinste c is die in n drietallen voorkomt.
• Wat zijn de waarden die b-a aan kan nemen. Kan het verschil iedere willekeurige waarde aannemen? En zijn er waarden die vaak of minder vaak voorkomen?
• Bij een abc-drietal a, b, c is altijd een van de getallen deelbaar door 2, omdat twee oneven getallen opgeteld altijd even zijn. Maar is er voor elke n een drietal waarbij a, b en c niet deelbaar zijn door 3, 4, 5, ..., n?
• Zijn er oneindig veel abc-tweelingen, dit wil zeggen twee drietallen met gelijke c en gelijke kwaliteit?

n drietallen met constante b

Voor iedere n is er een b die in n drietallen te vinden is.

Neem voor deze b namelijk $3^{42m+27}, m$ zodat b groter is dan $2^{21n+18}$ en voor de a's $2^{21i+18}$ met i = 0 tm i = n-1. Nu heb je dus n tweetallen met radicaal 6. C is nu $2^{21i+18}+3^{42n+27}$.

modulo 49 geldt:

$c = 2^{21i+18}+3^{42n+27} =$

$(2^{21})^i*2^{18}+(3^{42})^n*3^{27} =$

$1^{i}*43+1^{j}*6 = 0$ mod 49

Het radicaal is dus maximaal $6/7*c$ voor deze n drietallen.

Q.E.D.

Andere definitie van kwaliteit

Naast de standaarddefinitie van kwaliteit is het ook mogelijk om te kijken naar het product van a, b en c, in plaats van alleen naar c. Nu geldt dus:

$\rho = \frac{\log abc}{\log rad(abc)}$

Dit worden ABC-Szpiro-drietallen genoemd

De grootste gevonden kwaliteit van een Szpiro-drietal is 4,41901, voor

$13\times 19^6+2^{30}\times 5=3^{13}\times 11^2\times 31$.

Externe link

• The ABC conjecture home page
• Reken Mee met ABC
• ABC@home