ABC-vermoeden

Het ABC-vermoeden is een vermoeden (dat wil zeggen een uitspraak waarvan men vermoedt, maar niet heeft bewezen, dat zij waar is) uit de getaltheorie.

Het vermoeden

Het ABC-vermoeden is een uitspraak over gehele getallen A, B en C=A+B. Voor een getal n wordt $rad(n)$, het radicaal van n gedefinieerd als het product van alle verschillende priemgetallen in de ontbinding van n. Als bijvoorbeeld

$n = 2^5 \times 3^7 \times 11 \times 17^2 = 222479136$, dan is $rad(n) = 2 \times 3 \times 11 \times 17 = 1122$. Nu kunnen we de

kwaliteit van een drietal definiëren als

$q = \frac{\log c}{\log rad(abc)}$

dus c = rad(abc)^q

Het ABC-vermoeden zegt nu:

Voor elke $\alpha>1$ zijn er slechts eindig veel getallen a, b en c met ggd(a, b) = 1, zodanig dat $q \geq \alpha$

Let wel dat we moeten stellen dat ggd(a, b) = 1 anders kunnen we elke a, b en c uit een drietal met 2 vermenigvuldigen, en wordt c twee keer zo groot zonder dat het radicaal toeneemt, en kunnen we dus drietallen construeren met willekeurig grote kwaliteit.

Het ABC-vermoeden is voorlopig slechts een vermoeden, er lijkt nog geen uitzicht op een bewijs in de nabije toekomst.

Er bestaat een rijtje van records, waarbij de grootst bekende waarde van $q$ bepalend is. Momenteel (juli 2007) is het record $q=1.62991$ voor de som $2+3^{10}\times 109=23^5$.

Dat het ABC-vermoeden een sterke uitspraak is, kan bijvoorbeeld worden gezien doordat het zeer eenvoudig de stelling van Fermat bewijst. Stel dat bewezen zou worden dat er geen getallen a en b zijn met $q>2$. Dan zou dat voor getallen a, b en c met

$a^n+b^n=c^n$ en ggd(a,b)=1

betekenen dat

$c^n<(rad(a^nb^nc^n))^2=(rad(abc))^2\leq (abc)^2< c^6$.

Het zou dus betekenen dat oplossingen van Fermat alleen mogelijk zijn voor $n<6$. Voor $n<6$ is de stelling van Fermat echter al sinds 1825 bewezen, dus volgt hieruit dat de stelling van Fermat waar is.

Open problemen

Er zijn nog veel onopgeloste problemen omtrent het ABC-vermoeden. Hieronder is een selectie:

• Is er een bovengrens H, zodat $q < H$ voor alle abc-drietallen? Dit wordt ook wel de zwakke versie van het ABC-vermoeden genoemd.
• Het is bekend dat er voor iedere n een c te vinden is zodanig dat deze c in n abc-drietallen voorkomt. Maar het is nog niet bekend wat de kleinste c is die in n drietallen voorkomt.
• Wat zijn de waarden die b-a aan kan nemen. Kan het verschil iedere willekeurige waarde aannemen? En zijn er waarden die vaak of minder vaak voorkomen?
• Bij een abc-drietal a, b, c is altijd een van de getallen deelbaar door 2. Dit komt omdat twee oneven getallen opgeteld altijd even zijn. Maar is er voor elke n een drietal waarbij a, b en c niet deelbaar zijn door 3, 4, 5, ..., n?
• Zijn er oneindig veel abc-tweelingen, dit wil zeggen twee drietallen met gelijke c en gelijke kwaliteit?

n drietallen met constante b

Voor iedere n is er een b die in n drietallen te vinden is.

Neem voor deze b namelijk $3^{42m+27}, m$ zodat b groter is dan $2^{21n-3}$ en voor de a's $2^{21i-3}$ met i = 1 tm n. Nu heb je dus n tweetallen met radicaal 6. C is nu $2^{21i+18}+3^{42n+27}$.

modulo 49 geldt:

$c = 2^{21i+18}+3^{42n+27} =$

$(2^{21})^i*2^{18}+(3^{42})^n*3^{27} =$

$1^{i}*43+1^{j}*6 = 0$ mod 49

Het radicaal is dus maximaal $6/7*c$ voor deze n drietallen.

Q.E.D.

Andere definitie van kwaliteit

Naast de standaard definitie van kwaliteit is het ook mogelijk om te kijken naar het product van a, b en c, in plaats van alleen naar c. Nu geldt dus:

$\rho = \frac{\log abc}{\log rad(abc)}$

Dit worden ABC-Szpiro-drietallen genoemd

De grootste gevonden kwaliteit van een Szpiro-drietal is 4,41901, voor

$13\times 19^6+2^{30}\times 5=3^{13}\times 11^2\times 31$.

Externe link

• The ABC conjecture home page
• Reken Mee met ABC
• ABC@home