Aannemelijkheidsfunctie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De aanemelijkheidsfunctie is in de statistiek de functie die bij een gegeven steekproefuitkomst als functie van een parameter de kans(functie) of kansdichtheid van die uitkomst aangeeft. Eenvoudig gezegd is het de kans of kansdichtheid van de steekproefuitkomst, opgevat als functie van de onbekende parameter(s). De aannemelijkheidsfunctie geeft aan hoe aannemelijk een bepaalde waarde van de parameter is in het licht van de waarnemingen. Bij de toepassingen van de aannemelijkheidsfunctie is niet zozeer de waarde van belang, maar het maximum, zoals bij de methode van de grootste aannemelijkheid, of bij vergelijking het quotiënt van twee aannemelijkheidsfuncties, zoals bij de aannemelijkheidsquotiënttoets.

Definitie[bewerken]

Discreet[bewerken]

Als \{p_\theta\} een familie kansfuncties is met parameter \theta, en uit een van deze verdelingen is een steekproef met uitkomst x_1,x_2,\ldots,x_n getrokken, dan heet de functie L, gedefinieerd door:

L(\theta)=L(\theta|x_1,x_2,\ldots,x_n)=p_\theta(x_1,x_2,\ldots,x_n)

de aannemelijkheidsfunctie van \theta.

Continu[bewerken]

Als \{f_\theta\} een familie kansdichtheden is met parameter \theta, en uit een van deze verdelingen is een steekproef met uitkomst x_1,x_2,\ldots,x_n getrokken, dan heet de functie L, gedefinieerd door:

L(\theta)=L(\theta|x_1,x_2,\ldots,x_n)=f_\theta(x_1,x_2,\ldots,x_n)

de aannemelijkheidsfunctie van \theta.

Voorbeelden[bewerken]

Binomiale verdeling[bewerken]

Uit een binomiale verdeling met parameter n=10 en onbekende succeskans p is een waarneming x gedaan. De aannemelijkheidsfunctie van p is:

L(p)=\tbinom {10}{x}p^x(1-p)^{10-x}.

De aannemelijkheidsfunctie is maximaal voor p=x/10; deze waarde van p heet de meest aannemelijke waarde (schatting).

Normale verdeling[bewerken]

Uit een normale verdeling met onbekende verwachtingswaarde μ en standaardafwijking σ is een aselecte steekproef x_1,x_2,\ldots,x_{100} van omvang 100 getrokken. De aannemelijkheidsfunctie van het paar (μ,σ) is:

L(\mu,\sigma)=\prod_{i=1}^{100} \varphi(\mu+\sigma x_i),

waarin \varphi de kansdichtheid van de standaardnormale verdeling is.

Zie ook[bewerken]