Abelse integraal

In de theorie der Riemann-oppervlakken, een onderdeel van de wiskundige analyse, is een Abelse integraal een functie die gerelateerd is aan de primitieve functie van een differentiaal van de eerste soort. Neem een Riemann-oppervlak S aan en stel verder dat S zich bevindt op een 1-differentiaalvorm ω, die overal holomorf is op S, en bepaal een punt P op S, van waar geïntegreerd gaat worden. Dan kan men

$\int_P^Q \omega$

beschouwen als een veelwaardige functie f(Q), of (beter) een eerlijke functie van het gekozen pad C afgebeeld op S van P naar Q. Aangezien S in het algemeen meervoudig samenhangend zal zijn, moet men C specificeren, maar de waarde van de integraal zal alleen afhangen van de homologieklasse van C modulo cykels op S.

In het geval dat S een compact Riemann-oppervlak van genus 1 is, dat wil zeggen een elliptische kromme, zijn zulke functies de elliptische integralen. Logisch gesproken moet een Abelse integraal daarom een functie zoals f zijn.

Zulke functies werden geïntroduceerd om de hyperelliptische integralen te bestuderen, dat wil zeggen voor het geval waar S een hyperelliptische kromme is. Dit is een natuurlijke stap in de theorie van de integratie op het geval van integralen, waar de algebraïsche functies √A een rol speelt, en waar A een polynoom is van graad > 4. De eerste belangrijke inzichten in deze theorie werden opgedaan door Niels Abel; Later werden deze inzichten geherformuleerd in termen van de Jacobiaanse variëteit J(S). De keuze van P leidt tot een standaard holomorfe afbeelding

$S \rarr J(S)$

van complexe variëteiten. Het heeft de definiërende eigenschap dat de holomorfe 1-vorm op J(S), waarvan er g onafhankelijken zijn, als g de genus is van S, terugtrekt naar een basis voor de differentialen van de eerste soort van S.

Externe links

Abelse integralen en Abelse functies

Literatuur

• Griffiths, P. & Harris, J. - Principles of Algebraic Geometry (Principes van de algebraïsche meetkunde), Springer-Verlag Berlin