Absolute continuïteit

In de wiskundige analyse wordt de term absolute continuïteit zowel voor functies als voor maten gebruikt. Beide begrippen zijn nauw met elkaar verwant in de context van de Lebesgue-maat op $\mathbb{R}$.

Absoluut continue functie

Een reëelwaardige functie f heet absoluut continu als voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat zo, dat voor elke rij paarsgewijs disjuncte intervallen [x_k, y_k], k = 1, ..., n die voldoet aan

$\sum_{k=1}^n (y_k-x_k)<\delta$

geldt:

$\sum_{k=1}^n\left|f(y_k)-f(x_k)\right|<\varepsilon.$

Eigenschappen

Elke absoluut continue functie is ook uniform continu en daarom tevens continu. Elke Lipschitz-continue functie is absoluut continu.

De Cantor-functie is overal continu, maar niet absoluut continu.

Absoluut continue maat

Zij $(X,\mathcal{A})$ een meetbare ruimte, en zijn $\mu$ en $\nu$ twee maten op die ruimte. Dan heet $\nu$ absoluut continu ten opzichte van $\mu$, genoteerd $\nu\ll\mu$, als elke nulverzameling voor $\mu$ ook een nulverzameling is voor $\nu$:

$\forall N\in\mathcal{A}:\mu(N)=0\implies\nu(N)=0$

Voorbeelden

Zij $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ een niet-negatieve Lebesgue-integreerbare functie. De maat $\mu$, gedefinieerd door het voorschrift

$\mu(A)=\int_Af(x)dx$

is absoluut continu ten opzichte van de Lebesgue-maat.

De Dirac-maat $\nu$, die aan Lebesgue-meetbare verzamelingen de waarde 1 of 0 toekent naargelang de verzameling het getal 0 bevat of niet, is niet absoluut continu ten opzichte van de Lebesgue-maat.

Verband tussen de twee begrippen

Een maat $\mu$ op de reële getallen is absoluut continu ten opzichte van de Lebesgue-maat dan en slechts dan als haar verdelingsfunctie

$x\mapsto F(x)=\mu((-\infty,x])$

een absoluut continue functie is.

Stelling van Radon-Nikodym

Als $\mu$ en $\nu$ eindige maten zijn op een meetbare ruimte $(X,\mathcal{A})$, en $\nu\ll\mu$, dan bestaat er een $\mu$-integreerbare reële functie $f$ op $X$ met de eigenschap dat

$\forall S\in\mathcal{A}:\nu(S)=\int_Sfd\mu$

In de kansrekening wordt deze stelling als volgt geïnterpreteerd: als de verdelingsmaat van een stochastische variabele absoluut continu is ten opzichte van de Lebesgue-maat, dan heeft de veranderlijke een kansdichtheid. We spreken dan van een continue stochastische variabele.

Als $\nu$ niet absoluut continu is ten opzichte van $\mu$, dan kan ze op unieke wijze gesplitst worden in een absoluut continu en een singulier gedeelte, zie wederzijds singuliere maten.