Actie (natuurkunde)

In de moderne natuurkunde is de actie een kenmerk van een evolutie van een natuurkundig systeem over een tijdsperiode. Meer bepaald is het een functionaal, die aan elk mogelijk traject/evolutie van een systeem een getal associeert. Het is dit getal dat in zekere zin uitdrukt hoeveel die bepaalde beweging `kost'. De kracht van deze definitie is als volgt: van alle mogelijke evoluties van een systeem, zal net déze gevolgd worden, waarvoor de actie (`kostprijs') minimaal is. Dit wordt ook wel het principe van de kleinste actie genoemd. Het begrip actie laat dus op een erg bondige manier toe om te specificeren hoe een systeem doorheen de tijd evolueert. De actie van een systeem wordt meestal genoteerd als $S$. De eenheid van actie is energie × tijd (Joule-seconden in SI-eenheden).

Eenvoudig voorbeeld

Stel dat een puntmassa beweegt in een ééndimensionale ruimte tussen posities $x_1$ en $x_2$ binnen een tijdsspanne $\Delta t$, met een (in principe) tijdsafhankelijke snelheid $v(t)$. Neem aan dat er geen externe kracht op het deeltje werkt, zodat de Lagrangiaan eenvoudig de kinetische energie $T$ is. We kunnen de actie van het systeem dan definiëren als

$S = \int_0^{\Delta t} T dt = \int_0^{\Delta t} \frac{m v(t)^2}{2} dt$

A priori weten we niet hoe het deeltje zal bewegen tussen $x_1$ en $x_2$. Elke gevolgd traject (evolutie) en zijn overeenkomstige snelheid $v(t)$ is dus in principe mogelijk. Echter, het blijkt dat er maar één enkel traject (dus één enkele $v(t)$) de actie minimaliseert. Voor alle andere paden is $S$ groter. Dus: de dynamica van het deeltje ligt eigenlijk volledig vast door het definiëren van de actie. Merk op dat deze bovendien de juiste eenheid heeft: de integrand is de kinetische energie van het deeltje; als we dit integreren over de tijd krijgen we inderdaad een getal met eenheid energie × tijd.

Laten we nu eens kijken wat de waarde van bovenstaande actie is voor een paar trajecten. Definieer $\Delta x = x_2 - x_1$ als de af te leggen afstand, en $V = \Delta x/\Delta t$ als de snelheid nodig, indien men tenminste het traject wilt afleggen met een constante snelheid. Voor een constante snelheid is dus $v(t)=V$, en wordt de actie

$S = \int_0^{\Delta t} \frac{m V^2}{2} dt= \frac{m V^2}{2} \Delta t$

Het is echter niet strikt nodig dat het deeltje een constante snelheid aanneemt. Het deeltje zou ook eerst gedurende een periode $\Delta t/2$ aan een snelheid $V/2$ kunnen reizen, en dan gedurende een periode $\Delta t/2$ aan een snelheid $3V/2$. Ook in dat geval legt het deeltje een afstand $\Delta x$ af. De snelheid $v(t)$ is dus gelijk aan $V/2$ voor $0<t<\Delta t/2$, en gelijk aan $3V/2$ voor $\Delta t/2 < t<\Delta t$. Als men opnieuw de overeenkomstige actie berekent, vindt men dat voor dit pad

$S= \frac{m (V/2)^2}{2} \frac{\Delta t}{2} + \frac{m (3V/2)^2}{2} \frac{\Delta t}{2} = \frac{10}{8} \frac{m V^2}{2} \Delta t$

Deze actie is dus $5/4$ zoveel als voor het eerste pad. Het blijkt dat voor elk ander mogelijk pad de actie strikt groter is dan $m V^2/2 (\Delta t)$. Dat wil zeggen dat het pad met constante snelheid precies het pad is waarvoor de actie minimaal is. Het systeem zal dus precies dat traject volgen, en geen van alle andere mogelijkheden. We weten vanuit de wetten van Newton dat een deeltje waar geen kracht op werkt inderdaad beweegt aan een constante snelheid. Bijgevolg kan men concluderen dat de bovenstaande actie precies die is van een deeltje dat niet aan krachten onderhevig is.

Lagrangiaan

Het bovenstaande voorbeeld gaf de actie voor een puntmassa, niet aan een kracht onderhevig. Wat nu als het deeltje aan een kracht onderhevig is, kan men dan ook een actie vinden waarvoor het gevolgde pad (ten gevolge van de kracht) precies het pad is waarvoor de actie minimaal is? Dat kan inderdaad: het principe van minimale actie is voor veel systemen een alternatieve manier om de tijdsevolutie te geven. In het algemeen ziet de actie er uit als

$\int L dt$.

Hierin is L een functie die afhangt van de toestand van het systeem op tijd $t$: $L$ kan dus afhangen van de snelheid, positie,... van een systeem op tijdstip $t$. Deze functie wordt de Lagrangiaan genoemd.

Variatierekening

Zelfs voor een eenvoudig voorbeeld als het bovenstaande is het niet evident om aan te tonen dat het gevonden pad wel degelijk deze is waarvoor de actie minimaal is. In principe zou men voor alle mogelijke paden (dat zijn er uiteraard oneindig veel) de actie moeten berekenen, en nagaan voor welke de actie daadwerkelijk het kleinst is. Dat is duidelijk een erg zware opgave, en gelukkig is er eenvoudigere methode. De vraag is dus: stel dat we een actie hebben, met Lagrangiaan $L$, wat zijn dat de bewegingsvergelijkingen van het systeem? Neem voor de eenvoud weer een puntmassa, waarvan de tijds-afhankelijke positie is gegeven door $x(t)$. Stel bovendien dat de Lagrangiaan alleen afhangt van de positie $x(t)$ en snelheid $\frac{dx}{dt}=\dot{x}(t)$ van het deeltje:

$L=L(x(t),\dot{x}(t)).$

We tonen nu hoe eisen dat de actie minimaal is de bewegingsvergelijkingen van het deeltje opleveren. Stel dus dat de actie

$\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2}\; L(x,\dot{x})\,\mathrm{d}t$

extremaal is voor een bepaald pad $x_{\textrm{echt}}(t)$. Het pad loopt tussen een bepaalde begin- en eindtijd ($t_{1}$ en $t_{2}$), en begin- en eindposities $x_1=x(t_{1})$ en $x_{2} = x(t_{2})$. Stel nu dat we de actie van een naburig pad willen beschouwen, dus een pad

$x_{\textrm{pert}}(t) = x_{\textrm{echt}}(t) + \varepsilon(t)$

We gebruiken het subscript `pert' omdat het naburige pad slechts een kleine perturbatie is ten opzichte van het echte minimum. Omdat het naburige pad tussen dezelfde eindpunten moet lopen, moet op de begin- en eindtijd het verschil $\varepsilon$ nul zijn:

$\varepsilon(t_{1}) = \varepsilon(t_{2}) = 0$.

Tot op eerste orde, is het verschil tussen de acties van beide paden:

$\begin{align} \delta \mathcal{S} &= \int_{t_1}^{t_2}\; \left[ L(x_{\mathrm{echt}}+\varepsilon,\dot x_{\mathrm{echt}} +\dot\varepsilon)- L(x_{\mathrm{echt}},\dot x_{\mathrm{echt}}) \right]dt \\ &= \int_{t_1}^{t_2}\; \left(\varepsilon{\partial L\over\partial x} + \dot\varepsilon{\partial L\over\partial \dot x} \right)\,\mathrm{d}t \end{align}$

Nu, als we in bovenstaande vergelijking partiële integratie toepassen op de laatste term, en de randvoorwaarden $\varepsilon(t_{1}) = \varepsilon(t_{2}) = 0$ opleggen, krijgen we

$\delta \mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2}\; \left( \varepsilon{\partial L\over \partial x} - \varepsilon{d\over dt }{\partial L\over\partial \dot x} \right)\,\mathrm{d}t.$

Eisen dat de actie minimaal is voor het echte pad $x_{\textrm{echt}}$, is equivalent met eisen dat het bovenstaande verschil $\delta\mathcal{S}$ tot op eerst orde nul is. (Net zoals een minimum van een functie als eigenschap heeft dat de functiewaarde in de omgeving tot op eerste orde niet verschilt - wat equivalent is aan de eis dat de afgeleide nul is.) Dit kan alleen indien

${\partial L\over\partial x} - {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t }{\partial L\over\partial \dot{x}} = 0$   Euler–Lagrange-vergelijking

Uitgedrukt in termen van een functionele afgeleide, kan men stellen dat de Euler-Lagrange-vergelijking equivalent is met de eis

$\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta x(t)}=0$.

Minimaal versus stationair

In de afleiding van de Euler-Lagrange-vergelijking hierboven werd eigenlijk niet strikt geëist dat het om een minimum van de actie gaat. Inderdaad, strikt gesproken hoeft dat ook niet. De bewegingsvergelijking van Euler-Lagrange, afgeleid van het actie-principe komt dus eigenlijk overeen met paden waarvoor de actie stationair is. Een lokaal minimum, maximum of ander extremum mag dus ook. Voor conceptuele doeleinden blijft het natuurlijk het gemakkelijkst om te spreken over `paden van minimale kost' (of minimale actie dus).

Kwantummechanica

Het actieprincipe is ook belangrijk in de kwantummechanica. In tegenstelling tot de klassieke mechanica, waar een systeem een unieke tijdevolutie heeft, kan een systeem volgens de kwantummechanica eigenlijk elk mogelijk pad/evolutie volgen. Het is gewoon zo dat paden met een grotere actie sterker onderdrukt worden (minder waarschijnlijk zijn), en dat dus de `klassieke evolutie' de voornaamste bijdrage geeft. Concreet: beschouw een kwantumdeeltje dat op positie $x_1$ is. Op een later tijdstip zal dit deeltje uitgespreid zijn, en een uitgesmeerde golffunctie hebben. Laten we de kans dat we dus op een later tijdstip het deeltje aantreffen op een andere positie $x_2$ noteren met

$P(x_1\rightarrow x_2) = \langle x_1|x_2 \rangle \!$.

Men kan deze waarschijnlijkheid berekenen met behulp van de Schrödinger-vergelijking, maar ook door middel van een padintegraal, als volgt

$\langle x_1|x_2 \rangle = \int [dx] e^{i S/\hbar}$

Hierin is $S$ de actie, $\hbar$ de constante van Planck, en is de padintegraal een som over alle mogelijke paden die van $x_1$ naar $x_2$ lopen. Merk op dat het argument van de exponentiele dimensieloos is, zoals het hoort. Voor stationaire paden, is de actie van naburige paden ongeveer gelijk, en is dus het argument van de bovenstaande padintegraal ongeveer constant in die regio. Echter, voor meer algemene paden is de actie niet stationair/minimaal. Dan is de actie dus zeer verschillend voor naburige paden, zodat de exponentiële sterk oscilleert, en de bijdragen van de verschillende paden elkaar opheffen. Dat toont dus dat de waarschijnlijkheid $\langle x_1|x_2 \rangle$ vooral bijdragen krijgt van klassieke paden.

Naast gewone kwantummechanica, is de padintegraal-formulering ook van groot belang voor kwantumveldentheorie, en snaartheorie.

Zie ook

• Principe van de minimale actie/kleinste werking
• Lagrangiaan
• Euler-Lagrange-vergelijking
• Padintegraal