Afbeeldingstelling van Riemann

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de functietheorie, een deelgebied van de wiskunde, stelt de afbeeldingstelling van Riemann dat bij elke open echte deelverzameling van het complexe vlak , die nog enkelvoudig samenhangend is, een biholomorfe, dus bijectief en holomorf, afbeelding van op de open eenheidsschijf bestaat. Intuïtief betekent de voorwaarde dat enkelvoudig samenhangend is dat geen 'gaten' bevat. Het feit dat biholomorf is impliceert dat het een conforme afbeelding, een hoekgetrouwe afbeelding is. Dat betekent dat de vorm van iedere voldoende klein figuur geroteerd of geschaald, maar niet gespiegeld, onder zo'n afbeelding hetzelfde blijft.

Henri Poincaré bewees dat de afbeelding in essentie uniek is: als een element van is en een willekeurige hoek is, dan bestaat er precies een , zoals hierboven, met de extra eigenschappen dat het punt afbeelft op en dat het argument van de afgeleide van in het punt gelijk is aan . Dit is een eenvoudige consequentie van het lemma van Schwarz.

Er zijn op biholomorfe equivalentie na maar drie open, samenhangende, enkelvoudig samenhangende delen van het vlak:

Als een corollarium van de stelling kunnen elke twee enkelvoudig verbonden open deelverzamelingen van de riemann-sfeer, die ieder ten minste twee punten van de riemann-sfeer missen, hoekgetrouw op elkaar worden afgebeeld. Dat komt omdat hoekgetrouwe gelijkwaardigheid een equivalentierelatie is.

Bovendien is zo een equivalentie in zekere zin uniek bepaald: veronderstel dat en twee open, samenhangende, enkelvoudig samenhangende delen van het vlak zijn. Kies punten en een hoek Dan bestaat er een unieke equivalentie van naar die op afbeeldt, zodat de afgeleide in argument heeft.