Affiene transformatie

Een affiene transformatie is een transformatie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuur (punten blijven punten, lijnen blijven rechten, vlakken blijven vlakken) en parallellisme behouden blijven.

Als $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ de coördinaten zijn van een punt in de n-dimensionale affiene meetkunde, kan een affiene transformatie voorgesteld worden door:

$\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array} \right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{array} \right)+\left(\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\end{array} \right),$

waarbij $A = (a_{ij})$ de matrix is van een lineaire afbeelding van $(x_1, x_2, \cdots, x_n)$ en $\vec{B} = (b_1, b_2, \cdots, b_n)$ de translatievector is.

Als de matrix A de eenheidsmatrix is, spreekt men van een translatie. Als A een veelvoud is van de eenheidsmatrix, spreekt men van een homothetie. De translaties en homothetieën vormen een groep, namelijk die van de dilataties.