Affiene transformatie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een affiene transformatie is een transformatie van de affiene meetkunde, waarbij de meetkundige structuur (punten blijven punten, lijnen blijven rechten, vlakken blijven vlakken) en parallellisme behouden blijven.

Als (x_1, x_2, \cdots, x_n) de coördinaten zijn van een punt in de n-dimensionale affiene meetkunde, kan een affiene transformatie voorgesteld worden door:

\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n\end{array}
\right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\
\end{array}
\right)\left(\begin{array}{c}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n\end{array}
\right)+\left(\begin{array}{c}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_n\end{array}
\right),

waarin A = (a_{ij}) de matrix is van een lineaire afbeelding van de ruimte en \vec{B} = (b_1, b_2, \cdots, b_n) de translatievector is.

Als de matrix A de eenheidsmatrix is, spreekt men van een translatie. Als A een veelvoud is van de eenheidsmatrix, spreekt men van een homothetie. De translaties en homothetieën vormen een groep, namelijk die van de dilataties.