Afgeknotte piramide

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Afgeknotte piramide
Pentagonal frustum.svg
Vlakken n trapezia
2 regelmatige n-hoeken
Zijden n+2
Hoekpunten 2n
Ribben 3n
Zijvlakken per hoekpunt 3
Ribben per zijvlak 4 of n
Symmetriegroep Cnv
Eigenschappen Convex
Duale vorm geen
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

Een afgeknotte piramide of frustum (meervoud : frusta) is een meetkundig lichaam dat ontstaat door een piramide tussen twee evenwijdige vlakken te snijden.

De vorm wordt soms in de bouwkunde en architectuur benut.

Formules[bewerken]

Volume[bewerken]

Het volume van een afgeknotte piramide werd al bepaald door de Egyptenaren. Zij beweerden het volgende : "Als u wordt verteld : een afgeknotte piramide met een verticale hoogte van 6, een basis van 4 en de basis op te top van 2, dan moet U 4 in het kwadraat nemen, dat is 16. Vervolgens neem je het dubbele van 4, dat is 8. Dan neemt U het kwadraat van 2, dat geeft 4. Vervolgens moet u de 16, de 8 en de 4 bij elkaar optellen, dat resulteert in 28. Van de verticale basis (6) moet U één derde nemen, dat geeft 2. Als laatste stap neemt u 28 keer 2, dat geeft 56. Ziehier het resultaat."

En inderdaad : dit klopt. Zodanig hebben de moderne wiskundigen een wiskundige formule opgesteld voor het berekenen van het volume van de afgeknotte piramide :

V = \left | \frac{1}{3} h_1 B_1 - \frac{1}{3} h_2 B_2 \right |

waarin h_1 en h_2 de loodrechte hoogtes zijn van de top tot respectievelijk de korte en de lange basis, B_1 en B_2 zijn de oppervlakten van boven- en ondervlak.


Laat nu h de hoogte van de afgeknotte piramide zijn, dat is de loodrechte afstand tussen het bovenvlak en het grondvlak (de loodrechte afstand tussen de beide evenwijdige vlakken dus). Beschouw nu h = \left | h_1 - h_2 \right | \, en \frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}, dan krijgt men een alternatieve formule voor het volume :

V = \frac{1}{3} h(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2)

Oppervlakte[bewerken]

De oppervlakte van een afgeknotte piramide is de verzameling van de oppervlaktes van alle vlakken : het grondvlak, de zijvlakken (altijd een trapezium) en het bovenvlak.

Zie ook[bewerken]