Afsluiting (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is de afsluiting van een verzameling A ten aanzien van een bepaalde eigenschap, de kleinste verzameling met die eigenschap waarvan A een deelverzameling is.

In de wiskunde zegt men dat een verzameling gesloten is onder een bepaalde operatie als deze operatie op elementen van een verzameling opnieuw een element van dezelfde verzameling als resultaat geven. De reële getallen zijn bijvoorbeeld gesloten onder de operatie aftrekken, maar de natuurlijke getallen zijn dit niet: 3 en 7 zijn beide natuurlijke getallen, maar het resultaat van 3 − 7 is -4 (duidelijk geen natuurlijk getal).

Op dezelfde wijze zegt men dat een verzameling gesloten is onder een collectie van operaties, wanneer deze verzameling gesloten is onder elk van de individuele operaties.

Van een verzameling die gesloten is onder een operatie of onder een collectie van operaties wordt gezegd dat deze voldoet aan de sluitingseigenschap. Vaak wordt een sluitingseigenschap geïntroduceerd als een axioma, dat dan vervolgens vaak het sluitingsaxioma wordt genoemd. Merk op dat de moderne verzamelings-theoretische definities meestal operaties definiëren als mappings tussen verzamelingen, zodat het als een axioma toevoegen van een sluitingseigenschap aan een structuur overbodig is, hoewel het nog steeds zinvol om zich af te vragen of deelverzamelingen al of niet gesloten zijn. De verzameling van de reële getallen is bijvoorbeeld gesloten onder de aftrekoperatie, waar (zoals hierboven vermeld) haar deelverzameling van de natuurlijke getallen dit duidelijk niet is.

Wanneer een verzameling S niet gesloten is onder bepaalde operaties, kan men meestal een kleinste gesloten verzameling vinden, de afsluiting van S (met betrekking tot deze operaties), die S bevat. De afsluiting onder de aftrekoperatie van de verzameling van natuurlijke getallen, gezien als een deelverzameling van de reële getallen, is bijvoorbeeld de verzameling van de gehele getallen. Een belangrijk voorbeeld hiervan is de topologische sluiting. De notie van afsluiting wordt veralgemeend door de Galoisverbinding, en nog verder door monaden.

Merk op dat de verzameling S een deelverzameling van een gesloten verzameling moet zijn. Anders kan de sluitingsoperator niet worden gedefinieerd. In het voorgaande voorbeeld is het belangrijk dat de reële getallen zijn gesloten onder de operatie aftrekken. In het domein van de natuurlijke getallen is de operatie aftrekken niet altijd gedefinieerd.

De twee gebruiksvormen van de woord "gesloten" moeten niet worden verward. Het eerste gebruik verwijst naar de eigenschap van het gesloten zijn, het tweede gebruik verwijst naar de kleinste afgesloten verzameling dat een niet gesloten element bevat. Men kan kortweg zeggen dat het gesloten zijn van een verzameling voldoet aan de sluitingseigenschap.

Binnen de logica kent men de deductieve afsluiting waarbij een verzameling proposities wordt afgesloten onder een verzameling afleidingsregels.

Zie ook[bewerken]