Oneindigheid

Het ∞ symbool in verscheidene lettertypes.

Oneindigheid is een begrip in de filosofie en de natuurwetenschappen. Oneindig staat daar in de betekenis van niet eindig tegenover het begrip eindig (zie daarvoor ook universum). In de wis- en natuurkunde heeft oneindig een min of meer kwantitatieve betekenis en wordt als symbool voor oneindig een lemniscaat ($\infty$) gebruikt (ongeveer een liggende acht, en daarom ook wel zo genoemd).

Definitie en eigenschappen

In de wiskunde wordt oneindig soms beschouwd als een soort getal, maar dan een getal dat groter is dan elk reëel getal. Daarnaast bestaan er verschillende soorten oneindigheid, die worden aangegeven door verschillende zogenaamde kardinaalgetallen, die de mate van oneindigheid aangeven. Deze kardinaalgetallen worden aangegeven met de letter alef ($\aleph$), gevolgd door een geheel getal.

Een verzameling is oneindig als zij gelijkmachtig is met een echte deelverzameling, wat inhoudt dat er een een-op-een relatie is tussen die deelverzameling en de verzameling zelf.

Iedere verzameling X die gelijkmachtig is met een oneindige verzameling U, is zelf ook oneindig. Immers, wanneer er een een-op-een relatie f is tussen U en een echte deelverzameling V van U, is f(V) een echte deelverzameling van X die een-op-een op X zelf kan worden afgebeeld.

Een belangrijk voorbeeld van een oneindige verzameling is de verzameling van de natuurlijke getallen: {0, 1, 2, ...}. De afbeelding $f(n) = 2n$ beeldt de natuurlijke getallen een-op-een af op de echte deelverzameling {0, 2, 4, ...} van de even getallen. Dus is de verzameling natuurlijke getallen, en daarmee ook de even getallen, oneindig.

Aftelbaar oneindig

Er zijn verschillende graden van oneindigheid. De kleinst denkbare oneindigheid is de oneindigheid van de natuurlijke getallen. Deze vorm van oneindigheid wordt aftelbare oneindigheid of discrete oneindigheid genoemd en aangeduid met het symbool $\aleph_0$ (alef nul). Van verzamelingen die gelijkmachtig zijn met de natuurlijke getallen, zegt men dat ze de kardinaliteit ("aantal elementen") $\aleph_0$ hebben, Voorbeelden zijn de gehele getallen ($\mathbb{Z}$), de even getallen en de oneven getallen. Maar ook de rationale getallen ($\mathbb{Q}$) en de algebraïsche getallen ($\mathbb{A}$) zijn aftelbaar oneindig.

De term 'aftelbaar oneindig' is gekozen omdat van elke verzameling die gelijkmachtig is met de natuurlijke getallen de elementen via de een-op-een relatie afgeteld kunnen worden. De elementen van een dergelijke verzameling kunnen dus achter elkaar worden gezet zodanig dat er een eerste getal is, een tweede getal, een derde getal enzovoort, waarbij de lijst alle elementen van de verzameling bevat en zo dus allemaal 'afgeteld' kunnen worden.

De rationale getallen kunnen bijvoorbeeld als volgt afgeteld worden:

$\!0,\tfrac{1}{1},\tfrac{-1}{1},\tfrac{2}{1},\tfrac{-2}{1},\tfrac{1}{2},\tfrac{-1}{2},\tfrac{3}{1},\tfrac{-3}{1},\tfrac{1}{3},\tfrac{-1}{3},\tfrac{4}{1},\tfrac{-4}{1},\tfrac{3}{2},\tfrac{-3}{2},\tfrac{2}{3},\tfrac{-2}{3},\tfrac{1}{4},\tfrac{-1}{4},\tfrac{5}{1},\tfrac{-5}{1},\tfrac{1}{5},\tfrac{-1}{5},\tfrac{6}{1},\tfrac{-6}{1},\tfrac{5}{2},\cdots$

Overaftelbaar

Als een verzameling oneindig veel elementen bevat, en er géén een-op-een afbeelding construeerbaar is tussen deze verzameling en de natuurlijke getallen, hebben we te maken met een niet-aftelbaar oneindige verzameling, Bij ieder poging tot aftellen zijn er altijd elementen die niet geteld worden. De verzameling bevat om zo te zeggen meer elementen dan de natuurlijke getallen. Zo'n verzameling wordt overaftelbaar genoemd.

Een voorbeeld is de verzameling van de reële getallen. Georg Cantor, een 19e eeuwse Duitse wiskundige die als een van de eerste het begrip oneindigheid grondig onderzocht, bewees dat de verzameling van de reële getallen 'groter' is dan de verzameling natuurlijke getallen, hoewel het aantal elementen van beide verzamelingen oneindig is. Dit deed hij met behulp van de zogenaamde diagonaalmethode.

Zie ook

• Absoluut oneindige
• Continuümhypothese
• Oneindige verzameling
• Onsterfelijkheid
• Transfiniet getal