Aftelbaarheidsaxioma

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Aan een topologische ruimte worden soms aanvullende voorwaarden opgelegd om sterkere eigenschappen te kunnen bewijzen. De aftelbaarheidsaxioma's zijn dergelijke voorwaarden, die alle te maken hebben met het bestaan van bases die in zekere zin uit "weinig" open verzamelingen bestaan.

Eerste aftelbaarheidsaxioma: A1[bewerken]

Een topologische ruimte (X,\mathcal{T}) heet eerst-aftelbaar of A_1 als ieder punt een aftelbare lokale basis heeft:

\forall x\in X,\exists\left\{V_n\in\mathcal{T}|n\in\mathbb{N}\right\},\forall U\in\mathcal{T}:x\in U\implies\exists n\in\mathbb{N}:x\in V_n\subset U

Tweede aftelbaarheidsaxioma: A2[bewerken]

Een topologische ruimte (X,\mathcal{T}) heet tweedst-aftelbaar of A_2 als ze een aftelbare basis heeft:

\exists\left\{V_n\in\mathcal{T}|n\in\mathbb{N}\right\},\forall x\in X,\forall U\in\mathcal{T}:x\in U\implies\exists n\in\mathbb{N}:x\in V_n\subset U

Dit is duidelijk sterker dan A_1: elke tweede aftelbare ruimte is eerste aftelbaar.

Voorbeelden[bewerken]

Elke (topologie afkomstig van een) metrische ruimte is A_1: neem bijvoorbeeld als lokale basis in x\in X de open bollen met middelpunt x en straal 1/n:

V_n:=B(x,{1\over n})\equiv\left\{y\in X|d(x,y)<{1\over n}\right\}

Niet iedere metrische ruimte is A_2, maar een compacte metrische ruimte is in elk geval wel A_2: wegens compactheid kan de ruimte voor elke n\in\mathbb{N} overdekt worden met een eindig aantal open bollen met straal 1/n; de vereniging van deze open bollen voor alle n vormt een aftelbare basis.

De reële getallen, en algemener \mathbb{R}^n, zijn eveneens A_2. Neem bijvoorbeeld als aftelbare basis de open intervallen (in \mathbb{R}^n: cartesische producten van open intervallen) waarvan de eindpunten rationale getallen zijn.

Metriseerbaarheid[bewerken]

Het eerste voorbeeld hierboven is niet toevallig gekozen. Onder de topologische ruimten worden degenen die van metrische ruimten afkomstig zijn, gekenmerkt door bijzondere scheidingsaxiomas en aftelbaarheidsaxiomas. De hoofdstelling in dit verband is genoemd naar Smirnov, Nagata en Bing, en ze karakteriseert volledig de metriseerbare topologische ruimten:

Een topologische ruimte is metriseerbaar dan en slechts dan als ze normaal is en beschikt over een sigma-lokaal-eindige basis.

Voor een topologische vectorruimte is A_1 reeds voldoende om metriseerbaarheid te garanderen.

Sigma-lokaal-eindige-basis[bewerken]

Het hebben van een sigma-lokaal-eindige basis is een scheidingsaxioma dat tussen A_1 en A_2 in ligt:

A_2\implies A_\sigma\implies A_1

Metriseerbaarheidsstelling van Urysohn[bewerken]

De metriseerbaarheidsstelling van Urysohn is ouder dan de metriseerbaarheidsstelling van Smirnov-Nagata-Bing, en behandelt een bijzonder geval:

Als een topologische ruimte tweedst-aftebaar (A_2) en normaal is, dan is de topologie afkomstig van een metriek.