Algebra (ringtheorie)

In de ringtheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een algebra over een commutatieve ring een veralgemening van het concept van een algebra over een veld, waar het basisveld, K wordt vervangen door een commutatieve ring R.

In dit artikel wordt van alle ringen aangenomen dat zij unitaal zijn.

Formele definitiie

Laat R een commutatieve ring zijn. Een algebra is een R-moduul A, samen met een binaire operatie [·, ·]

$[\cdot,\cdot]: A\times A\to A$

genaamd de A-vermenigvuldiging, die voldoet aan het volgende axioma:

• Bilineariteit:

$[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], \quad [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y]$

voor alle scalars a, b in R en alle elementen x, y, z in A.

Associatieve algebra's

Als A een monoïde onder A-vermenigvuldiging is (het voldoet aan de eisen van associativiteit, identiteit en totaliteit), dan noemt men de R-algebra een associatieve algebra. Interessant genoeg vormt een associatieve algebra een ring over R en geeft hij veralgemening van een ring. Een equivalente definitie van een associatieve R-algebra is een ringhomomorfisme $f:R\to A$, zodanig dat het beeld van f is opgenomen in het centrum van A

Zie ook

• Associatieve algebra
• Commutatieve algebra
• Lie-algebra
• Halfring