Algebra (structuur)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Algebraïsche
structuren

Magma
Halfgroep
Monoïde
Groep
Ring / Ideaal
Lichaam/Veld

Moduul
Vectorruimte
Algebra

Categorie
Tralie
Boole-algebra

Een algebra is een uitbreiding van het begrip vectorruimte uit de lineaire algebra. In een algebra is naast de optelling en de scalaire vermenigvuldiging, ook de vermenigvuldiging van de elementen (vectoren) onderling mogelijk.

Definitie[bewerken]

Als A een vectorruimte is over het lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) K, dan vormt A samen met de vermenigvuldiging "·" een algebra als

\cdot: A \times A \rightarrow A;\ (\mathbf{v},\mathbf{w}) \mapsto \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}

een bilineaire operator is, t.w.:

\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in A: (\mathbf{v}+\mathbf{w}) \cdot \mathbf{u}=\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}+\mathbf{w}\cdot \mathbf{u}
\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in A: \mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}
\forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in A: \forall k \in K: k(\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}) = (k\mathbf{v})\cdot \mathbf{w} = \mathbf{v}\cdot (k\mathbf{w}).

Een alternatieve definitie is: Zij K een lichaam. K,A,+,*,\cdot is een algebra als K,A,+ een vectorruimte met scalaire vermenigvuldiging *, en A,+,\cdot een niet-noodzakelijk associatieve ring is en bovendien * en \cdot compatibel zijn. Dat wil zeggen dat

\forall a \in K,\forall c,d \in A: a*(c\cdot d) = (a *c) \cdot d = c \cdot (a*d).

Een algebra over het lichaam K, wordt ook wel een K-algebra genoemd.

In sommige speciale gevallen krijgt de bilineaire operator een andere naam dan vermenigvuldiging.

Voorbeelden[bewerken]

De n\times n-matrices vormen een algebra met de vermenigvuldiging van matrices.

De reële vectorruimte \mathbb{R}^3 met het kruisproduct vormen een algebra:


\left(
\begin{matrix}
a&b&c \\
\end{matrix}
\right)
\times
\left(
\begin{matrix}
x&y&z \\
\end{matrix}
\right)
=\left(
\begin{matrix}
\begin{vmatrix}
 b & c \\
 y & z \\
\end{vmatrix} &
\begin{vmatrix}
 c & a \\
 z & x \\
\end{vmatrix} &
\begin{vmatrix}
 a & b \\
 x & y \\
\end{vmatrix} \\
\end{matrix}
\right)

Indien de elementen in de matrix element zijn van het lichaam K, vormen deze matrices een K-algebra.

Ook de verzameling polynomen in één variabele vormt een algebra voor de gewone optelling en vermenigvuldiging van polynomen. Hetzelfde geldt ook voor polynomen in meer, in n variabelen. Wanneer de coëfficiënten element van het lichaam K zijn, vormen K[x] respectievelijk K[x_1,..,x_n] een K-algebra. K[x] is de verzameling polynomen in de variabele x met coëfficiënten in het lichaam K.

Associatieve algebra[bewerken]

In de bovenstaande definitie valt ook op dat we niet eisen dat de vermenigvuldiging \cdot associatief of commutatief is. Een associatieve algebra voldoet aan de bijkomende voorwaarde

\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in A: (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}=\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})

Het algemene geval wordt daarom ook niet-associatieve algebra genoemd, hoewel "niet noodzakelijk associatief" nauwkeuriger zou zijn.

Voorbeelden[bewerken]

Matrixvermenigvuldiging is associatief.

Het vectorproduct in \mathbb{R}^3 is niet associatief. Noteer \{e_1,e_2,e_3\} voor de canonieke orthonormale basis, dan geldt

(e_1\times e_2)\times e_2=-e_1
e_1\times(e_2\times e_2)=0

Vermenigvuldiging van veeltermen is associatief en commutatief.

De tensoralgebra T(V) van een willekeurige vectorruimte V is een associatieve algebra. Hij wordt ook de vrije algebra over V genoemd.

Ringen[bewerken]

1rightarrow blue.svg Zie Algebra (ringtheorie) voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Sommige bronnen verzwakken de eis "vectorruimte over een lichaam" tot "moduul over een commutatieve ring met eenheid". De definitie wordt hierdoor niet ingewikkelder, maar het niet altijd bestaan van een basis compliceert de studie enigszins.

Bijzondere soorten algebra's[bewerken]

Diverse specialistische gebieden van de wiskunde onderscheiden speciale soorten (meestal associatieve) algebra's: