Algebra (structuur)

Algebraïsche structuren
Magma Halfgroep Monoïde Groep Ring / Ideaal Lichaam/Veld
Moduul Vectorruimte Algebra
Categorie Tralie Boole-algebra

Een algebra is een uitbreiding van het begrip vectorruimte uit de lineaire algebra. In een algebra is naast de optelling en de scalaire vermenigvuldiging, ook de vermenigvuldiging van de elementen (vectoren) onderling mogelijk.

Definitie

Als A een vectorruimte is over het lichaam (Nederlands) of veld (Belgisch) K, dan vormt A samen met de vermenigvuldiging "·" een algebra als

$\cdot: A \times A \rightarrow A;\ (\mathbf{v},\mathbf{w}) \mapsto \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$

een bilineaire operator is, t.w.:

$\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in A: (\mathbf{v}+\mathbf{w}) \cdot \mathbf{u}=\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}+\mathbf{w}\cdot \mathbf{u}$

$\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in A: \mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}$

$\forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in A: \forall k \in K: k(\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}) = (k\mathbf{v})\cdot \mathbf{w} = \mathbf{v}\cdot (k\mathbf{w})$.

Een alternatieve definitie is: Zij K een lichaam. K,A,+,*,$\cdot$ is een algebra als K,A,+ een vectorruimte met scalaire vermenigvuldiging *, en A,+,$\cdot$ een niet-noodzakelijk associatieve ring is en bovendien * en $\cdot$ compatibel zijn. Dat wil zeggen dat

$\forall a \in K,\forall c,d \in A: a*(c\cdot d) = (a *c) \cdot d = c \cdot (a*d)$.

Een algebra over het lichaam K, wordt ook wel een K-algebra genoemd.

In sommige speciale gevallen krijgt de bilineaire operator een andere naam dan vermenigvuldiging.

Voorbeelden

De $n\times n$-matrices met elementen in K vormen een K-algebra met de vermenigvuldiging van matrices.

De reële vectorruimte $\mathbb{R}^3$ (of in het algemeen, de driedimensionale coördinatenruimte $K^3$) wordt een algebra als we haar uitrusten met het kruisproduct:

$\left( \begin{matrix} a&b&c \\ \end{matrix} \right) \times \left( \begin{matrix} x&y&z \\ \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} \begin{vmatrix} b & c \\ y & z \\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} c & a \\ z & x \\ \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a & b \\ x & y \\ \end{vmatrix} \\ \end{matrix} \right)$

Zij $K[X]$ de verzameling polynomen in één variabele met coëfficiënten in K. Deze vormt een algebra voor de gewone optelling en vermenigvuldiging van polynomen. Idem voor $K[X,Y]$, de polynomen in twee variabelen of zelfs de polynomen in een willekeurig (eventueel oneindig) aantal variabelen $(X_i;i\in I)$

Associatieve algebra

In de bovenstaande definitie valt ook op dat we niet eisen dat de vermenigvuldiging $\cdot$ associatief of commutatief is. Een associatieve algebra voldoet aan de bijkomende voorwaarde

$\forall \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in A: (\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}=\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v}\cdot\mathbf{w})$

Het algemene geval wordt daarom ook niet-associatieve algebra genoemd, hoewel "niet noodzakelijk associatief" nauwkeuriger zou zijn.

Voorbeelden

Matrixvermenigvuldiging is associatief.

Het vectorproduct in $\mathbb{R}^3$ is niet associatief. Noteer $\{e_1,e_2,e_3\}$ voor de canonieke orthonormale basis, dan geldt

$(e_1\times e_2)\times e_2=-e_1$

$e_1\times(e_2\times e_2)=0$

Vermenigvuldiging van veeltermen is associatief en commutatief.

De tensoralgebra $T(V)$ van een willekeurige vectorruimte V is een associatieve algebra. Hij wordt ook de vrije algebra over V genoemd.

Ringen

Sommige bronnen verzwakken de eis "vectorruimte over een lichaam" tot "moduul over een commutatieve ring met eenheid". De definitie wordt hierdoor niet ingewikkelder, maar het niet altijd bestaan van een basis compliceert de studie enigszins.

Bijzondere soorten algebra's

Diverse specialistische gebieden van de wiskunde onderscheiden speciale soorten (meestal associatieve) algebra's:

• Lie-algebra, een object dat opduikt in de differentiaalmeetkunde
• Tensoralgebra, een ruimte die diverse orden van tensorproducten verenigt
• Uitwendige algebra, het antisymmetrisch gedeelte van de tensoralgebra, een belangrijk object bij de studie van differentiaalvormen op gladde variëteiten
• Banach-algebra, een Banachruimte met een "samenstelling" van vectoren
• Von Neumann-algebra, de continue lineaire transformaties van een Hilbertruimte
• Algebra van verzamelingen en de ermee verwante Booleaanse algebra, een model voor bepaalde soorten logica aan de hand van verzamelingen
• Sigma-algebra, een bijzondere soort algebra van verzamelingen die de basis vormt van de maattheorie en de kansrekening