Alternerende groep

De alternerende groep A₃ op 3 elementen kan worden gemodelleerd als de rotatiesymmetrieën van een gelijkzijdige driehoek. De spiegelingen ten opzichte van de rode assen zijn de oneven elementen van S₃

In de groepentheorie, een tak van de wiskunde, onderscheidt men de alternerende groep op n elementen, genoteerd met het symbool $\mathcal{A}_n$.

Zij $\mathcal{S}_n$ de verzameling van alle permutaties van een rij met n plaatsen. Deze n bepaalt de n in de notatie $\mathcal{A}_n$. Met de samenstelling van permutaties als bewerking wordt $\mathcal{S}_n$ een groep, genaamd de symmetrische groep. Deze groep voldoet aan de eigenschappen nodig voor een groep. Twee permutaties, de een na de ander uitgevoerd, vormen ook een permutatie, en de omgekeerde relatie van een permutatie is eveneens een permutatie. De samenstelling van relaties, en dus ook van permutaties, is associatief. De identieke permutatie fungeert als neutraal element.

Elk element van $\mathcal{S}_n$ kan geschreven worden als een samenstelling van een eindig aantal verwisselingen (permutaties die slechts de waarde op twee verschillende plaatsen veranderen). Deze schrijfwijze is niet uniek, maar de pariteit van het aantal verwisselingen is wel onveranderlijk. Een even permutatie is een samenstelling van een even aantal verwisselingen, een oneven permutatie is een samenstelling van een oneven aantal verwisselingen. De identieke permutatie is even. Een verwisseling is per definitie oneven.

$\mathcal{A}_n$ is de ondergroep van $\mathcal{S}_n$ die bestaat uit de even permutaties, dit is de definitie van de alternerende groep.

In de groepen met meer elementen dan alleen maar de identiteit, dat is met n > 1, bevat $\mathcal{A}_n$ precies de helft van het aantal elementen van $\mathcal{S}_n$, dus $n!\over2$ (zie faculteit).

$\mathcal{A}_4$ is bijvoorbeeld isomorf met de symmetriegroep van de tetraëder.

Voor $n\geq 4$ is $\mathcal{A}_n$ niet abels.