Alternerende reeks

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskundige analyse is een alternerende reeks een reeks waarvan de termen afwisselend positief en negatief zijn. Een voorbeeld is de reeks:

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n = - 1 + 1 - 1 + 1 \cdots

Als een alternerende reeks absoluut convergeert, convergeert de alternerende reeks zelf ook. Dit betekent echter niet dat elke convergerende alternerende reeks ook absoluut moet convergeren. Een voorbeeld waarbij dit niet het geval is, is de harmonische reeks.

\sum_{n=1}^\infty \frac 1n=1+\tfrac 12 +\tfrac 13 + \tfrac 14 \cdots

Deze reeks convergeert niet, echter de alternerende reeks convergeert naar ln 2.

\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}=1-\tfrac 12 +\tfrac 13 - \tfrac 14 \cdots=\ln 2

Een algemener criterium voor de convergentie van een alternerende reeks is het criterium van Leibniz. Dit stelt dat als de rij a_n monotoon daalt en convergeert naar nul, de alternerende reeks

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\,a_n.

ook convergeert.