Complexe functie

Een complexe functie is een complexwaardige functie van een complexe variabele, dus een functie

$f: D \to \mathbb{C}$

waarvan het definitiegebied $D$ een deelverzameling is van de complexe getallen ($\mathbb{C}$). Vaak wordt een complexe functie als volgt genoteerd:

$f(x+iy)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$,

waarin u en v reëelwaardige functies zijn van twee reële variabelen.

Afgeleide

We zeggen dat een complexe functie differentieerbaar is in een punt $c\in\mathbb{C}$ als de limiet

$\lim_{z\rightarrow c}\frac{f(z)-f(c)}{z-c}$

bestaat. De limiet noemen we dan de afgeleide van f in het punt c, genoteerd als $f'(c)\,$.

Analytische functie

Een complexe functie die overal in zijn domein differentieerbaar is, wordt analytisch genoemd. In de reële analyse wordt die term gebruikt om oneindig vaak differentieerbare functies aan te duiden die kunnen worden uitgedrukt als een machtreeks. De benaming analytisch is voor complex differentieerbare functies gerechtvaardigd, omdat complexe functies die eenmaal differentieerbaar zijn, automatisch oneindig vaak differentieerbaar zijn en dus ontwikkelbaar in machtreeksen. Dit is dus een groot verschil tussen de complexe analyse en de reële analyse. Voor complexe functies wordt in plaats van analytisch ook de term holomorf gebruikt, van het Griekse ὅλος (holos) dat geheel betekent.

Meromorfe functie

Zie Meromorfe functie voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Soms is een functie niet overal in z'n domein differentieerbaar, maar wel bijna overal. Bijna overal wil dan zeggen op een verzameling van geïsoleerde punten na. Men noemt zo'n functie een meromorfe functie. De term is afkomstig uit het Grieks, van μέρος (meros) dat deel betekent als tegengesteld tot ὅλος (holos) geheel. Een punt waar een meromorfe functie niet differentieerbaar is, is of een ophefbare singulariteit of een pool.

De Cauchy-Riemann vergelijkingen

Als de complexe functie f differentieerbaar is in het punt $a+bi$ en we schrijven voor f:

$f(x+iy)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$,

geldt voor de afgeleide

$f'(a+bi)=\frac{\partial{u}}{\partial{x}}(a,b)+i\frac{\partial{v}}{\partial{x}}(a,b)=\frac{\partial{v}}{\partial{y}}(a,b)-i\frac{\partial{u}}{\partial{y}}(a,b)$.

De afgeleide kan dus worden uitgedrukt in de partiële afgeleiden van u en v in het punt (a,b). In dat punt voldoet f dus aan de zgn. Cauchy-Riemann vergelijkingen:

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\frac{\partial{v}}{\partial{y}}$

$\frac{\partial{v}}{\partial{x}}=-\frac{\partial{u}}{\partial{y}}$

Omgekeerd geldt dat een functie f die op het gehele definitiegebied voldoet aan de Cauchy-Riemann vergelijkingen en waarvan de partiële afgeleiden continu zijn, analytisch is.

Bekende stellingen uit de reële analyse

De meeste stellingen uit de reële analyse gelden ook in de complexe analyse. We formuleren er een aantal.

Kettingregel

Zij $g:D\to\mathbb{C}$ en $f:G\to\mathbb{C}$ beide analytische functies. Dan is de samenstelling $f\circ g:D\rightarrow\mathbb{C}$ ook analytisch en voor de afgeleide geldt:

$(f\circ g)'(z)=f'(g(z))g'(z)$

Inverse functies

Zij $f:D\rightarrow\mathbb{C}$ een complexe functie, en $f^{-1}:G\rightarrow\mathbb{C}$ de inverse functie van f, dus zodat

$f(f^{-1}(z))=z$ voor alle $z\in\mathbb{C}$.

Als er geldt dat f differentieerbaar is in $w=f^{-1}(z)$ en $f'(w)\neq 0$, dan bestaat de afgeleide van $f^{-1}$ in het punt z en wordt gegeven door:

$(f^{-1})'(z)=\frac{1}{f'(w)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(z))}$

Belangrijke complexe functies

De exponentiële functie

zie ook de formule van Euler

De exponentiële functie definiëren we als volgt:

$e^{x+iy}=e^{x}(\cos{y}+i\cdot\sin{y})\,$

Ook voor de complexe exponentiële functie gelden de bekende eigenschappen. Voor $z,w\in\mathbb{C}\,$ is:

$e^{z+w}=e^z e^w\,$

en

$\frac{d}{dz}e^z=e^z\,$

De logaritme

Omdat de complexe exponentiële functie niet injectief is, kunnen we niet zonder meer de logaritme als inverse daarvan definiëren. De exponentiële functie $e^{x+iy}\,$ is wel injectief indien de waarden van y beperkt zijn tot een interval ter lengte $2\pi$. Nu kunnen we de logaritme definiëren:

$\log{z}=\log{|z|}+i\arg{z}$

Hierbij kiezen we het argument als volgt:

$b\leq\arg{z}<b+2\pi$

Duidelijk is dat de logaritme gedefinieerd is op $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.

Kiezen we de waarde $b=-\pi$ krijgen we de hoofdwaarde van de logaritme, die ook in de meeste gevallen wordt gebruikt.

Voor de complexe logaritme gelden de gebruikelijke stellingen

$e^{\ln{z}}=z$

$\ln{e^{z}}=z\mod{2\pi i}$

$\log{zw}=\log{z}+\log{w}\mod{2\pi i}$

$\frac{d}{dz}\ln{z}=\frac{1}{z}$

Hierbij zijn z en w complexe getallen.

Machten

Met behulp van de logaritme en de exponentiële functie kunnen machten worden gedefinieerd. Als a en z complexe getallen zijn definiëren we

$z^{a}=e^{a\cdot\ln{z}}$

Met deze definitie kunnen we ook de afgeleide bepalen van een macht:

$\frac{d}{dz}z^{a}=az^{a-1}$

Goniometrische en hyperbolische functies

De sinus en cosinus blijken ook complex gedefinieerd te kunnen worden:

$\sin{z}=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

$\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$

$\sinh{z}=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}$

$\cosh{z}=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}$

Hierbij is z een complex getal.

Hieruit volgt

$\frac{d}{dz}\sin{z}=\cos{z}$

$\frac{d}{dz}\cos{z}=-\sin{z}$

$\frac{d}{dz}\sinh{z}=\cosh{z}$

$\frac{d}{dz}\cosh{z}=\sinh{z}$

en

$e^{iz}=\cos{z}+i\sin{z}$

$e^{z}=\cosh{z}+\sinh{z}$

De gebruikelijke relaties gaan ook op in de complexe analyse:

$\sin{(a+b)}=\sin{a}\cos{b}+\sin{b}\cos{a}$

$\sinh{(a+b)}=\sinh{a}\cosh{b}+\sinh{b}\cosh{a}$

$\cos{(a+b)}=\cos{a}\cos{b}-\sin{a}\sin{b}$

$\cosh{(a+b)}=\cosh{a}\cosh{b}+\sinh{a}\sinh{b}$

$\sin^2{a}+cos^2{a}=1$

$\cosh^2{a}-sinh^2{a}=1$

$\sin{(-a)}=-\sin{a}$

$\cos{(-a)}=\cos{a}$

$\sinh{(-a)}=-\sinh{a}$

$\cosh{(-a)}=\cosh{a}$

Hier zijn a,b,c complexe getallen.

Verder kunnen we goniometrische functies omzetten in hyperbolische en vice versa.

$\sinh{a}=-i\sin{(ia)}$

$\cosh{a}=\cos{(ia)}$

Integratie

Paden

Een pad, of een boog C is een deelverzameling van de complexe getallen zodat $C=\{c(t):t\in [a,b]\}$, waarbij c(t) een complexe functie is: $c(t)=a(t)+i\cdot b(t)$ met a(t), b(t) reële functies. De functie c(t) wordt de parametrizering van C genoemd. Als c(t) continue afgeleiden heeft in [a,b] dan noemen we C een gladde boog of kortweg glad.

Een voorbeeld van een gladde boog is de verzameling die voortgebracht wordt door de parametrizering $c(t)=e^{i\cdot t}$ met $[a,b]=[0,2\pi]$ Dit is de eenheidscirkel in het complexe vlak, de cirkel met straal 1 om middelpunt 0. C is hier dus een 'gesloten pad.

Integratie

Zij $c:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}$ een parametrizering van een gladde boog C en zij $f:D\rightarrow\mathbb{C}$ een complexe functie waarbij :$C\subset D$, dan definiëren we de complexe integraal:

$\int_{C}f(z)dz=\int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt$

Hierbij kan $f(c(t))c'(t)=u(t)+i\cdot v(t)$ geschreven worden, zodat we overhouden

$\int_{C}f(z)dz=\int_{a}^{b}f(c(t))c'(t)dt=\int_{a}^{b}u(t)dt+i\int_{a}^{b}v(t)dt$

Als C een gesloten pad is, schrijven we ook wel

$\oint_{C}f(z)dz$ om aan te geven dat we in een kring integreren.

Vaak is het mogelijk om voor C meerdere parametrizeringen te vinden. Zolang de eindpunten van equivalente parametrizeringen niet verschillen, levert het altijd dezelfde waarde op voor de integraal.

Voorbeeld

Neem het gesloten pad gedefinieerd door de parametrizering $c(t)=e^{i\cdot t}$ met $[a,b]=[0,2\pi]$ en n een geheel getal. Dan

$\oint_{C}z^{n}dz=\int_{0}^{2\pi}(e^{it})^{n}ie^{it}dt=i\int_{0}^{2\pi}e^{i(n+1)t}dt$

Als n=-1 houden we over

$\int_{0}^{2\pi}dt=2\pi i$

Anders vinden we

$i\int_{0}^{2\pi}e^{i(n+1)t}dt=0$

omdat de exponentiële functie een periodieke functie is.

Primitieven

In de reële analyse hebben veel functies een primitieve. Ook in de complexe functietheorie komen primitieven voor.

Definitie

Zij $f:d\rightarrow\mathbb{C}$ een continue complexe functie. Een analytische functie

$F:d\rightarrow\mathbb{C}$

wordt de primitieve genoemd als voor elk complex getal z uit D geldt dat F'(z)=f(z).

Hoofdstelling van de Calculus

Zie Hoofdstelling van de integraalrekening voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Met primitieven kunnen we de complexe versie van de hoofdstelling van de calculus formuleren: Zij C een gladde kromme in D met beginpunt a en eindpunt b. Als F de primitieve is van f op D dan

$\int_{C}f(z)dz=F(b)-F(a)$

Primitieven, paden en kringintegralen

Het blijkt dat het hebben van een primitieve een fijne eigenschap is. De volgende uitspraken zijn equivalent:

1) f heeft een primitieve 2) Integralen zijn onafhankelijk van het pad, zolang de begin- en eindpunten hetzelfde zijn (let op, dit is dus sterker dan dat de parametrizering van een pad niets uit maakt!) Dus als C1 en C2 twee paden zijn met dezelfde begin- en eindpunten geldt er

$\int_{C1}f(z)dz=\int_{C2}f(z)dz$

3) Kringintegralen zijn 0. Dus als C een gesloten pad is, geldt er

$\oint_{C}f(z)dz=0$

Machtreeksen

Hogere afgeleiden

Zoals eerder opgemerkt is, als f een analytische functie is op D en a een punt is in d dan is f oneindig vaak differentieerbaar in a. Verder geldt de volgende gelijkheid voor hogere afgeleides:

$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz$

Hierbij is C een gesloten kromme.

Machtreeksen en convergentiestralen

Als $c_{n}$ een rij is van complexe getallen en a een complex getal is wordt

$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}$

een machtreeks genoemd om a. De machtreeks convergeert in b als

$\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(b-a)^{n}$

convergeert.

De convergentiestraal van een machtreeks definiëren we als volgt:

$R=\sup{\{|z-a|:\lim_{n\rightarrow\infty}{|c_{n}(z-a)^{n}|}=0\}}$

Hierbij mag R ook de waarde oneindig aannemen. Het blijkt dat een machtreeks convergeert voor elke z die binnen de convergentiestraal valt. Dus als |z-a|<R, convergeert de reeks.

Taylorreeksen

Elke analytische functie valt te schrijven als een machtreeks. Als

$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}$

een machtreeks met convergentiestraal R, dan liggen de coëfficiënten $c_{n}$ vast en wel door:

$c_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}dz=\frac{f^{n}(a)}{n!}$

Hierbij is C een pad geparametriceerd door de functie $re^{it}:[0,2\pi]\rightarrow\mathbb{C}$ met 0<r<R.

Voorbeelden van Taylorreeksen zijn:

$e^{z}=1+z+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+...+\frac{z^{n}}{n!}+...$

$\sin{z}=z-\frac{z^{3}}{3!}+\frac{z^{5}}{5!}-...+(-1)^{n}\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}+....$

$\cos{z}=1-\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{4}}{4!}-...+(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}+...$

Bij deze drie reeksen is de convergentiestraal gelijk aan oneindig.

Ook de meetkundige reeks heeft een complex analogon, waarbij de convergentiestraal net als in het reële geval gelijk is aan 1.

$\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+...+z^n+...$

De logaritme heeft ook een machtreeks, maar ontwikkeld om het punt 1. De convergentiestraal is 1.

$\log{z}=(z-1)-\frac{(z-1)^2}{2}+\frac{(z-1)^3}{3}-...+(-1)^{n-1}\frac{(z-1)^n}{n}+...$

Toepassingen van complexe functietheorie

Met complexe functietheorie kan in sommige gevallen een 'bepaalde integraal', die in de reële analyse niet of nauwelijks berekend kan worden, door uitbreiding naar het complexe vlak vrij eenvoudig berekend worden. Een bekend voorbeeld is $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}$.

Een tweede voorbeeld is de stelling van Liouville: analytische functies met een begrensd bereik zijn constant. Dit geldt overduidelijk niet in de reële analyse. Zo is de sinus als functie van een reëel getal oneindig vaak differentieerbaar en bovendien begrensd, maar niet constant. De complexe versie is weliswaar oneindig vaak differentieerbaar, maar niet begrensd! Met het laatstgenoemde stelling kan gemakkelijk de hoofdstelling van de algebra bewezen worden.