Annuïteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
(Doorverwezen vanaf Annuïtair)

Een annuïteit is een vast bedrag dat periodiek gedurende een bepaalde periode wordt betaald. Annuïteit betekent letterlijk vertaald een jaarlijks te betalen bedrag, maar wordt in Nederland algemeen gebruikt voor een periodiek te betalen bedrag, ook bij een andere periode dan een jaar, vaak een maand. De naam is van het Latijnse woord annus voor jaar afgeleid. De periode moet er dus wel bij worden vermeld, ook als de periode een jaar betreft. Een 'maandelijkse annuïteit' wordt vooral in Vlaanderen mensualiteit genoemd. Het kan ook dat de annuïteit per kwartaal of semester moet worden betaald.

Annuïteiten wordt voornamelijk gebruikt bij periodieke betalingen als tegenprestatie na een eenmalige betaling in omgekeerde richting, maar omgekeerd is het bijvoorbeeld ook mogelijk periodiek een vast bedrag sparen en zo een kapitaal opbouwen. Het gaat in beide gevallen, dus bij het aflossen van een lening, van een annuïteitenlening, en bij het inleggen bij sparen om iedere keer hetzelfde bedrag.

Het eerstgenoemde komt onder meer voor bij kredieten die via vaste periodieke bedragen worden terugbetaald. De annuïteiten bestaan voor een deel uit aflossing en voor een deel uit rente. Het aflossingsbestanddeel is in het begin laag, maar neemt exponentieel, dus in een meetkundige rij, toe. De schuld die over is dus neemt steeds sneller af, terwijl de annuïteiten per definitie hetzelfde blijven. Het rentebestanddeel is eerst hoog, maar neemt steeds sneller af.

De betaling zal normaal gezien op het einde van elke periode plaatsvinden, men spreekt dan van een betaling postnumerando, anderzijds kan men ook aan het begin van elke periode betalen en dan spreekt men van een betaling prenumerando. De formules voor het vermogensverloop bij periodiek een vast bedrag sparen zijn hetzelfde.[1]

Rentevoet[bewerken | brontekst bewerken]

De rentevoet en de rente zijn hetzelfde, maar de rentevoet wordt als decimaal getal gegeven en de rente als percentage. Bijvoorbeeld . Als een jaar perioden omvat, is de rentevoet voor een jaar gelijk aan

Omgekeerd wordt de rentevoet voor een periode berekend uit de jaarlijkse rentevoet met:

Vermogensverloop bij een lening[bewerken | brontekst bewerken]

Van belang zijn de volgende grootheden:

  • : het geleende bedrag, het bedrag van de aanvankelijke schuld
  • : het aantal perioden
  • : de annuïteit
  • : de rentevoet, als fractie, dus het percentage gedeeld door 100, voor de betrokken periode

De annuïteiten die moeten worden betaald zijn alle even groot en bestaan uit een deel voor de aflossing en een deel voor de rente. De verdeling tussen het deel voor de aflossing en voor de rente is iedere periode anders. Er geldt bij een annuïteitenlening de volgende vergelijking.

Berekening 

Voor de -de periode bestaat het periodiek te betalen bedrag uit:

  • de -de aflossing en
  • de dan betaalde rente .

is de schuld na betaling in periode . Er gelden de volgende vergelijkingen:

Daaruit volgt:

De aflossingen vormen een meetkundige rij met reden , dus

Alle aflossingen samen zijn gelijk aan het geleende bedrag , dus:

Voor de eerste periode is:

Dan volgt voor dat

dus voor dat

De schuld kan nog worden geschreven als:

De looptijd kan nog worden bepaald :

Dit is meestal geen geheel getal, zodat naar boven wordt afgerond, en de laatste betaling minder is dan .

Men gaat vaak niet van een vaste looptijd uit, maar kiest voor een bepaalde annuïteit . De laatste betaling is dan meestal niet gelijk aan , maar zo, dat de laatste schuld wordt afgelost.

Voorbeeld[bewerken | brontekst bewerken]

Aflossing van een annuïteitenlening, 10 jaar, €100.000 tegen 4%

Een bedrag van 100.000 euro wordt geleend tegen een jaarrente van 4%. Het bedrag moet in 10 jaar worden terugbetaald. De rentevoet is dus . De annuïteit is:

€.

De volgende tabel toont, in euro's, de ontwikkeling van de jaarlijks te betalen rente, de jaarlijkse aflossing en de schuld aan het einde van elk jaar.

jaar rente aflossing restschuld
0 - - 100 000
1 4000 8329 91671
2 3667 8662 83009
3 3320 9009 74000
4 2960 9369 64631
5 2585 9744 54887
6 2195 10134 44753
7 1790 10539 34214
8 1369 10961 23254
9 930 11399 11855
10 474 11855 0

Bijvoorbeeld is:

De contante waarde van de -de annuïteit is gelijk aan het 11--de aflossingsbedrag. Die van het 1e is dus € 11.855, die van het 2e € 11.399, enzovoort.

Notatie in tabellenboeken[bewerken | brontekst bewerken]

De verhouding tussen het geleende bedrag en de daarbij overeengekomen annuïteit komt dus veel voor om een annuïteit te kunnen berekenen.[2] Deze verhouding uitrekenen kan tegenwoordig met een rekenmachine, maar er waren vroeger tabellenboeken met veel van deze waarden voor verschillende en .[3] Dus:

Dit wordt uitgesproken als hoek bij . Dat kon wanneer de rentevoet vaststond worden afgekort tot of hoek .

en

Vermogensverloop bij sparen[bewerken | brontekst bewerken]

Van belang zijn de volgende grootheden:

  • : het periodiek in te leggen bedrag
  • : de rentevoet, als fractie (perunage), dus het percentage gedeeld door 100, voor de betrokken periode

Aan het eind van de -de periode, dus juist voor de volgende inleg wordt gedaan, wordt rente ontvangen en is het opgebouwde kapitaal . Er gelden de volgende betrekkingen:

Bovendien vindt de inleg steeds aan het begin van een periode plaats, dus

Daaruit volgt:

Vaak wordt ook het opgebouwde kapitaal beschouwd direct na de n-de keer inleggen. De ontvangen rente is over het opgebouwde kapitaal . Er gelden de volgende betrekkingen:

In dit geval is

en volgt er

Postnumerando en prenumerando annuïteit[bewerken | brontekst bewerken]

De bovenstaande formules gelden voor de zogeheten postnumerando annuïteit, dus bij betaling aan het eind van een periode.

De prenumerando annuïteit, dus bij betaling vooraf, kan berekend worden door de postnumerando annuïteit te vermenigvuldigen met (1+i).

Voorbeeld 1[bewerken | brontekst bewerken]

Iemand die drie jaar lang ieder jaar 1000 euro kan betalen bij een rentevoet van 4%, kan 2.775 euro lenen. , en . Het te lenen bedrag volgt uit:

euro.

Dit is hetzelfde bedrag als dat iemand moet inleggen om met een rente van 4% drie jaar lang telkens 1000 euro te kunnen opnemen, maar na die drie jaar 0 euro over te houden. Het antwoord is weer 2775 euro.

Voorbeeld 2[bewerken | brontekst bewerken]

De verhouding stijgt in van naar , daalt in van naar 0 en is:

  • Voor kleine : iets minder dan .
  • Voor grote en kleine : iets minder dan .

Bij een zeer hoge rentevoet per periode, bijvoorbeeld wegens zeer hoge inflatie of een zeer lange periode, kan ook voor gelden dat , dus . In termen van het periodiek betalen van in plaats van ineens betalen van : de periode uitstel voordat men begint te betalen weegt dan zwaarder dan het feit dat de betaling is gespreid over meerdere termijnen. Bij geldt dit ongeveer vanaf .