Annuïteit

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een annuïteit is een vast bedrag dat periodiek betaald of ontvangen wordt gedurende een bepaalde periode. Letterlijk genomen is een annuïteit een jaarlijks te betalen bedrag. Het is afgeleid van het Latijnse woord "annus" (jaar). Het woord 'annuïteit' wordt in Nederland echter heel algemeen gebruikt voor een periodiek bedrag, ook bij een andere periode dan een jaar, vaak een maand. De periode moet er dus wel bij vermeld worden, ook als de periode een jaar betreft. Een 'maandelijkse annuïteit' wordt - vooral in Vlaanderen - mensualiteit genoemd. Een vast te betalen bedrag per trimester of semester is dan een trimesterialiteit of semesterialiteit.

De term annuïteit wordt voornamelijk gebruikt bij periodieke betalingen als tegenprestatie na een eenmalige betaling in omgekeerde richting, maar verwant is bijvoorbeeld periodiek een vast bedrag sparen, en zo een kapitaal opbouwen.

Het eerstgenoemde komt onder meer voor bij kredieten die terugbetaald worden via vaste periodieke bedragen (annuïteitenlening), en voor de uitkeringsfase van een bancaire lijfrente. Deze bedragen bestaan uit een deel aflossing (aan de geldschieter/uitkeringsgerechtigde) en een deel rente. Het aflossingsbestanddeel is in het begin laag, maar neemt exponentieel (dus in een meetkundige rij) toe. Het rentebestanddeel is eerst hoog, maar neemt steeds sneller af. Evenredig hieraan, maar een periode voorlopend, neemt de resterende schuld steeds sneller af.

De betaling zal normaal gezien op het einde van elke periode plaatsvinden, men spreekt dan van een betaling "postnumerando", anderzijds kan men ook aan het begin van elke periode betalen en dan spreekt men van een betaling "prenumerando".

De formules voor het vermogensverloop bij periodiek een vast bedrag sparen zijn hetzelfde; deze situatie komt rekenkundig ook overeen met het doorgaan met dezelfde periodieke betaling nadat een annuïtaire lening is afgelost.

De formules hangen niet van de periode af als de rentevoet voor de betreffende periode wordt ingevuld.[1]

Vermogensverloop bij een periodieke betaling[bewerken]

Neem aan dat gegeven zijn:

  • J het betaalde termijnbedrag (periodiek betaalde bedrag, dit kan zijn de aflossing (de afname van de schuld) plus de betaalde rente, of de toename van het tegoed verminderd met de ontvangen rente. Als het negatief is gaat het om het periodiek ontvangen van een bedrag.
  • T het startbedrag van de schuld (negatief in het geval van het starten met een tegoed).
  • i de rentevoet (als fractie, dus percentage gedeeld door 100) voor de betreffende periode (dit is een rentevoet per jaar van (1+i)^{1/p}-1, met p de periode in jaren). De rentevoet moet voor onderstaande formules groter dan nul zijn.

Dit is gelijkwaardig met de combinatie van een lening van een bedrag J/i, met periodieke betaling van de rente J, en het eenmalig inleggen van een spaarbedrag J/i - T waarvoor dezelfde rentevoet geldt, en de rente niet wordt opgenomen, waarbij het spaartegoed in een meetkundige rij aangroeit. Het aflossingsdeel van de periodieke betalingen (de afname per keer van de schuld) of de toename per keer van het tegoed komt in dit model overeen met de niet opgenomen ontvangen rente, waaruit blijkt dat deze waarden ook een meetkundige rij vormen met reden 1 + i.

We noemen de k-de aflossing ak, de dan betaalde rente rk, en de dan resterende schuld Tk, en vinden achtereenvolgens:

r_1=iT
a_1=J-r_1=J-iT
a_k=J-r_k=J-iT_{k-1}=J-i(T_{k-2}-a_{k-1})=(1+i)a_{k-1}=\ldots=(1+i)^{k-1}a_1=(1+i)^{k-1}(J-iT)
r_k=J-(1+i)^{k-1}(J-iT)

De resterende schuld T_k kan berekend worden uit de volgende waarde van de rente r_{k+1}:

T_k=\frac{r_{k+1}}{i}=\frac{J}{i}-\left(\frac{J}{i}-T\right)(1+i)^k

Dit volgt trouwens ook uit het genoemde model van de combinatie van een schuld en een tegoed.

Formules voor een postnumerando annuïteit[bewerken]

We nemen nu aan dat T en J beide positief zijn, of beide negatief, en dat iT in absolute waarde kleiner is dan J. Dan is na een aantal termijnen de schuld afgelost, resp. het kapitaal op. We nemen aan dat de verhouding van T en J zo gekozen wordt dat na een laatste betaling van het periodieke bedrag de schuld / het tegoed op nul uitkomt. Er is dan geen laatste betaling minder dan J.

Laat n het aantal betalingen zijn. We hebben dus T_n=0.

J, T en n kunnen elk expliciet in de andere drie parameters worden uitgedrukt (voor i kan dit niet):

T = \frac {1-(1+i)^{-n}} {i} J
J = \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}T
In woorden:
 \text{termijnbedrag}=\frac{\text{rentevoet}}{1-(1+\text{rentevoet})^{-\text{aantal periodes}}}\text{startbedrag}
n=-\frac{\text{ln}(1-\frac{iT}{J})}{\text{ln}(1+i)} (als n geen geheel getal is is de laatste betaling minder dan J)

Nog weer een andere formule om de relatie tussen de vier parameters weer te geven, direct volgend uit T_n=0, is:

\frac{J}{i}=\left(\frac{J}{i}-T\right)(1+i)^n

of nog iets eenvoudiger:

J=(J-iT)(1+i)^n

De resterende schuld na k betalingen wordt na substitueren van de formule voor J:

T_k=\frac{1-(1+i)^{k-n}}{1-(1+i)^{-n}}T=\left(1-\frac{(1+i)^k-1}{(1+i)^n-1}\right)T

We zien hierin weer dat T_k een rij is van het type "constante plus meetkundige rij" met reden 1 + i, met de constante term:

J/i = \frac{1}{1-(1+i)^{-n}}T

De k-de aflossing wordt na substitueren van de formule voor T:

a_k=J(1+i)^{k-n-1}

De rij aflossingsbedragen is dus identiek, in omgekeerde volgorde, aan de rij contante waarden van de termijnbedragen (wat ook volgt uit het feit dat het meetkundige rijen zijn waarbij de reden van de een het omgekeerde is van die van de ander, en dat ze evenveel termen en dezelfde som T hebben).

De prenumerando annuïteit is te berekenen door de postnumerando annuïteit te delen door (1+ rentevoet).

Zie ook de uitwerking verderop.

Actuariële notatie[bewerken]

Soms wordt speciale actuariële notatie gebruikt[2] (hoewel in de actuariële wetenschappen de kansen op leven en overlijden een grote rol spelen, en die bij een pure annuïteit niet aan de orde is):

\,a_{\overline{n|}i} = \frac {1-(1+i)^{-n}} {i}

Dit wordt uitgesproken "a hoek n bij i".

In een context waar i niet aangegeven hoeft te worden wordt het kortweg \,a_{\overline{n|}} {"a hoek n").

Met opeenvolgende waarden van n geeft dit zoals men ziet een rij van het type "constante plus meetkundige rij van negatieve waarden" met reden \ (1+i)^{-1} en constante 1 / i.

We krijgen dan:

T = \,a_{\overline{n|}i} \ J
T_k=\frac{\,a_{\overline{n-k|}i}}{\,a_{\overline{n|}i}}T

Met opeenvolgende waarden van k geeft dit bij positieve T een rij van het type "constante plus meetkundige rij van negatieve waarden" met reden \ 1+i, wegens het minteken voor de k.

Waarde van T / J[bewerken]

De waarde van T / J (dus \,a_{\overline{n|}i})[3] is stijgend in n van \frac {1}{1+i} naar \frac {1}{i}, en dalend in i van n naar 0, en is:

  • Voor kleine ni: iets minder dan n.
  • Voor grote n en kleine i: iets minder dan \frac {1-e^{-ni}}{i}.

Bij een zeer hoge rentevoet per periode (bijvoorbeeld wegens zeer hoge inflatie of een zeer lange periode) kan ook voor n > 1 gelden \,a_{\overline{n|}i} < 1, en dus | T | < | J |. In termen van het periodiek betalen van J in plaats van ineens betalen van T: de periode uitstel voordat men begint te betalen weegt dan zwaarder dan het feit dat de betaling is gespreid over meerdere termijnen. Bij n = 2 geldt dit ongeveer vanaf i = 0,62.

Voorbeelden berekening termijnbedrag[bewerken]

Voorbeeld 1[bewerken]

Er wordt een bedrag van T = € 100 000,-- geleend tegen een jaarrente van 4%. De rentevoet is dus i = 0,04. Het bedrag moet worden terugbetaald in n = 10 jaar. Met bovenstaande formule berekent men het termijnbedrag J = € 12.329,09.

De volgende tabel toont de ontwikkeling van de jaarlijks te betalen rente, de jaarlijkse aflossing, en de resterende schuld aan het einde van elk jaar.

Opbouw van de annuïteit van een annuïteitenlening, 10 jaar €100.000 tegen 4%
Jaar Rente Aflossing Schuld
0 - - 100 000
1 4000 8329 91671
2 3667 8662 83009
3 3320 9009 74000
4 2960 9369 64631
5 2585 9744 54887
6 2195 10134 44753
7 1790 10539 34214
8 1369 10961 23254
9 930 11399 11855
10 474 11855 0

De contante waarde van het k'de termijnbedrag is gelijk aan het (11-k)'de aflossingsbedrag. Die van het 1e is dus € 11.855, die van het 2e € 11.399, enz.

Voorbeeld 2[bewerken]

startbedrag = 100.000
rentevoet = 0,04
aantal periodes = 10
\text{termijnbedrag} = \frac{0{,}04}{1-1{,}04^{-10}}\times 100000 = \frac{0{,}04}{1-0{,}6755564168}\times 100000= \frac{0{,}04}{0{,}324435831}\times 100000=12329{,}09

Voorbeeld 3[bewerken]

startbedrag T = 100.000 euro
looptijd 20 jaar
jaarrente i =5,1%

\mathrm{maandrente}=(1+\mathrm{jaarrente})^{1/12}-1 = 1{,}051^{0{,}083333}-1 = 0{,}0041538

Termijnbedrag:

J = 100000 \frac {0.004154} {1-(1+0,004154)^{-240}}
= 100000 \frac {0.004154} {(1-0,36976225)}
= 100000 × 0,006591163
= 659,12 euro.

waarvan de 1e keer rente 100.000 x 0,004154 = 415,4 euro, en aflossing 659,12 - 415,4 = 243,72 euro.

Dus na de eerste betaling is de schuld aan de bank verminderd met 244 euro, dus de uitstaande schuld bedraagt dan nog 100.000 - 244 = 99.756 euro.

Voorbeelden met gemakkelijke getallen[bewerken]

Voorbeelden waarbij er geen rekenmachine of rekenhulp aan te pas hoeft te komen om n, T of J uit de andere drie parameters af te leiden, en ook alle afzonderlijke rentebetalingen en aflossingen ronde getallen zijn:

i = 0,5, n = 3, T = 38, J = 27. Dit komt overeen met het lenen van 54, en daarvan 16 via 24 en 36 laten groeien tot 54. De aangroei daarvan is 8, 12 en 18, dit zijn de aflossingen. De per saldo betaalde rente is 19, 15 en 9. De schuldsaldi zijn 38, 30, 18 en 0. De contante waarden van de betalingen zijn 18, 12 en 8.

i = 0,1, n = 3, T = 3310, J = 1331. Dit komt overeen met het lenen van 13.310, en daarvan 10.000 via 11.000 en 12.100 laten groeien tot 13.310. De aangroei daarvan is 1000, 1100 en 1210, dit zijn de aflossingen. De per saldo betaalde rente is 331, 231 en 121. De schuldsaldi zijn 3310, 2310, 1210 en 0. De contante waarden van de betalingen zijn 1210, 1100 en 1000.

Algemeen krijgt men een voorbeeld met gemakkelijke getallen bij kleine positieve gehele getallen n, p en q, met p < q (T en J en alle afzonderlijke rentebetalingen en aflossingen, en dus ook de waarden van de tussentijds resterende schuld, zijn dan niet al te grote gehele getallen[4]):

i = \frac{q}{p} - 1
T=p q^n - p^{n+1}
J=(q-p) q^n
T_k=p q^n - p^{n+1-k} q^k
a_k=(q-p) p^{n+1-k} q^{k-1}
r_k=(q-p) (q^n-p^{n+1-k} q^{k-1})

Dit komt overeen met het lenen van p q^n, en daarvan p^{n+1} laten groeien tot p q^n.

Voorbeeld berekening startbedrag[bewerken]

Iemand betaalt drie jaar lang jaarlijks 1000 euro, en de rentevoet is 4%.
Ingevuld in de formule wordt dan i = 4% = 0,04, n = 3 en J = 1000.

T = J \frac {1-(1+i)^{-n}} {i} = 1000 \frac {1-(1+0,04)^{-3}} {0,04} = 1000 \frac {1 - 0,88899} {0,04} = 1000 * 2,775 = 2775 euro

Merk op dat de hierboven genoemde berekening hetzelfde is voor het volgende probleem: De rente op een spaarrekening bedraagt 4%. Je wilt drie jaar lang telkens 1000 euro van je spaarrekening afhalen, maar na die drie jaar 0 euro aan eindsaldo overhouden. Hoeveel moet je dan storten? Het antwoord is weer 2775 euro.

Uitwerking voor de eerste perioden[bewerken]

Na periode 1 wordt een bedrag J \, betaald. Het rentegedeelte hiervan is

T \cdot i

Dus het aflossingsdeel is

J - T \cdot i

Na 1 periode is het openstaande bedrag dus

T - (J - T \cdot i) = T \cdot (1 + i) - J

Na periode 2 wordt een bedrag J betaald. Het rentegedeelte hiervan is

(T \cdot (1 + i) - J) \cdot i

Dus het aflossingsdeel is

J - (T \cdot (1 + i) - J) \cdot i = J \cdot (1 + i) - T \cdot (i + i^2)

Na 2 perioden is het openstaande bedrag dus

T \cdot (1 + i) - J - \{J \cdot (1 + i) - T \cdot (i + i^2)\} = T \cdot (1 + 2i + i^2) - J \cdot (2 + i)

Na periode 3 wordt wederom een bedrag J betaald. Het rentegedeelte hiervan is

(T \cdot (1 + 2i + i^2) - J \cdot (2 + i)) \cdot i = T \cdot (i + 2i^2 + i^3) - J \cdot (2i + i^2)

Dus het aflossingsdeel is weer J minus het rentedeel, dus

J \cdot (1 + 2i + i^2) - T \cdot (i + 2i^2 + i^3).

Na 3 perioden is het openstaande bedrag dus

T \cdot (1 + 3i + 3i^2 + i^3) - J \cdot (3 + 3i + i^2)

Ook na 4 perioden wordt een bedrag J betaald. Het rentegedeelte is

T \cdot (i + 3i^2 + 3i^3 + i^4) - J \cdot (3i + 3i^2 + i^3)

dus het aflossingsdeel is

J \cdot (1 + 3i + 3i^2 + i^3) - T \cdot (i + 3i^2 + 3i^3 + i^4)

Na 4 perioden is het openstaande bedrag dus

T \cdot (1 + 4i + 6i^2 + 4i^3 + i^4) - J \cdot (4 + 6i + 4i^2 + i^3)

Nu, na 4 keer itereren, zijn we zover dat we in het resultaat de algemene formule voor het openstaande bedrag na k perioden kunnen herkennen. Dit bedrag is

T \cdot (1 + i)^k - J \cdot \{(1 + i)^k - 1\}/i

Gezocht wordt J waarvoor geldt dat na n perioden het totaalbedrag precies afgelost is. De eis is dus dat het hier gegeven bedrag exact op nul uitkomt:

T \cdot (1 + i)^n - J \cdot \{(1 + i)^n - 1\}/i = 0

Hieruit volgt dat

T \cdot (1 + i)^n = J \cdot \{(1 + i)^n - 1\}/i

en dus dat

J = \frac{T \cdot (1 + i)^n}{\{(1 + i)^n - 1\}/i} = T \cdot \frac{i(1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1} = T \cdot \frac{i}{1 - \frac{1}{(1 + i)^n}}

We kunnen dit ook schrijven als

T = J \frac{(1 + i)^n - 1}{i(1 + i)^n} = J \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}

Afleiding via de contante waarden van de termijnbedragen[bewerken]

T = (\frac{1}{1+i}+\frac{1}{(1+i)^2}+...+\frac{1}{(1+i)^n})J

Met de formule voor de som van een eindige meetkundige rij vinden we

T = \frac {1-(1+i)^{-n}} {i}J.

Afleiding via de aflossingsbedragen[bewerken]

We noemen als boven de k'de aflossing ak en de dan betaalde rente rk. Dus:

J=a_k+r_k=a_{k+1}+r_{k+1}

Daaruit kunnen we zien dat:

r_k-r_{k+1}=a_{k+1}-a_k

De rente rk+1 is minder dan de rente rk, en het verschil is de rente die niet meer betaald hoeft te worden over de aflossing ak. Dus:

r_k-r_{k+1}=i\ a_k

Dus:

r_k-r_{k+1}=a_{k+1}-a_k=i\ a_k

Of:

a_{k+1}=(1+i)\ a_k=(1+i)^k\ a_1

Alle aflossingen samen zijn gelijk aan het startbedrag, dus:

T=a_1+a_2+\ldots+a_n=a_1\left(1+(1+i)+(1+i)^2+\ldots+(1+i)^{n-1}\right)
=\frac{(1+i)^n-1}{i}a_1
=\frac{(1+i)^n-1}{i}{(J-iT)}

Daaruit volgt voor J:

J=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}T=\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}T

Waarde-opbouw bij aan het einde van elke periode betaalde termijnbedragen[bewerken]

Met T = 0 krijgen we in dezelfde notatie als boven:

a_k=J(1+i)^{k-1}
r_k=J-J(1+i)^{k-1} (negatief als J positief is, en omgekeerd; de rente komt bovenop de betaling)
T_k=J \frac {(1+i)^k-1} {i}

Dit is gelijkwaardig met de combinatie van een lening van een bedrag J/i, met periodieke betaling van de rente J, en het eenmalig inleggen van een spaarbedrag J/i waarvoor dezelfde rentevoet geldt, en de rente niet wordt opgenomen.

Een zeer ruwe benadering hiervan is J \cdot \, k \cdot ( 1 + \frac{k-1}{2} i ), dus k maal het per periode ingelegde bedrag, plus de gemiddelde rente.

Voor een ruwe benadering van het rente op rente effect moet ook een volgende term in de benadering worden meegenomen:

J \cdot \, k \cdot \left( 1 + \frac{k-1}{2} i + \frac{(k-1)(k-2)}{6} i^2 \right)

Waarde-opbouw bij aan het begin van elke periode betaalde termijnbedragen[bewerken]

Eindwaarde = termijnbedrag × \frac {(1+i)^k-1} {i} (1+i)

Het verschil met het voorgaande is slechts de factor (1+i) voor het één periode eerder doen van alle betalingen.

Voorbeeld[bewerken]

Men stort 3 jaar lang aan het begin van elk jaar 100 euro en krijgt 10% rente per jaar. Aan het eind van het derde jaar bedraagt het tegoed:

100 \frac {(1+0,1)^3-1} {0,1} (1+0,1)

= 100 · ((1,331-1)/0,1) · 1,1
= 100 · 3,31 · 1,1
= 364,1 euro

Externe links[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Voor berekeningen zie [1], Rekenhulp Belastingdienst en [2]. Voor "maand" kan men ook een andere periode lezen. Voor de nominale rente moet men steeds 12 maal de perioderente invullen. Bij de 1e kan de rente maximaal ruim 833% per periode zijn, bij de 2e ruim 8,33%, bij de 3e minder dan 1,67%.
  2. De beide streepjes horen elkaar rechtsboven te raken, zie [3]
  3. Zie tabel 3 van [4], of vul in en van de genoemde rekenhulpen J = 1 in.
  4. Invullen van de parameters in bijvoorbeeld de formule a_k=(J-iT)(1+i)^{k-1} geeft wel rondere tussenresultaten dan als deze wordt geschreven in de vorm a_k=J(1+i)^{k-1}-iT(1+i)^{k-1}. De afzonderlijke termen van de laatste formule hebben een factor p^{1-k}, waardoor ze voor k > 1 geen gehele getallen zijn.