Annuïteit

Een annuïteit is een vast bedrag dat periodiek betaald of ontvangen wordt gedurende een bepaalde periode. Letterlijk genomen is een annuïteit een jaarlijks te betalen bedrag. Het is afgeleid van het Latijnse woord "annus" (jaar). Het is dus eigenlijk een pleonasme als men 'annuïteit per jaar' zegt. Een 'annuïteit per maand' wordt (vooral in Vlaanderen) mensualiteit genoemd. Een vast af te betalen bedrag per trimester of semester is dan een trimesterialiteit of semesterialiteit. In de praktijk denkt men bij het woord 'annuïteit' in Nederland echter aan een periodiek bedrag, dat niet per se jaarlijks wordt betaald. De formules hangen niet van de periode af als de rentevoet voor de betreffende periode wordt ingevuld.

De term wordt meestal gebruikt in verband met kredieten die terugbetaald worden via vaste periodieke bedragen, zoals een annuïteitenhypotheek. Deze bedragen bestaan uit een deel aflossing en een deel rente. In het begin is een groter deel van het bedrag rente, naar het einde toe wordt er meer kapitaal afbetaald. De betaling zal normaal gezien op het einde van elke periode plaatsvinden, men spreekt dan van een betaling "postnumerando", anderzijds kan men ook aan het begin van elke periode betalen en dan spreekt men van een betaling "prenumerando".

In theoretische benaderingen zal men veronderstellen dat de rente constant wordt gehouden. In de praktijk kunnen er echter periodieke renteherzieningen zijn, bijvoorbeeld jaarlijks, of elke 10 jaar, waardoor, bij gelijkblijvende looptijd, de betaling uiteraard groter of kleiner wordt.

In Nederland worden ingevolge de Wet herziening fiscale behandeling eigen woning nieuwe schulden aangegaan in verband met een eigen woning alleen aangemerkt worden als eigenwoningschuld als er zowel contractueel verplicht als feitelijk ten minste wordt afgelost volgens een annuïtair aflossingsschema.

Formules voor een postnumerando annuïteit

De parameters van een postnumerando annuïteit zijn:

• J het periodiek te betalen bedrag (aflossing + rente)
• T het totaal af te lossen bedrag (startbedrag, totale contante waarde van de termijnen)
• n het aantal termijnen
• i de rentevoet (als fractie, dus percentage gedeeld door 100) voor de betreffende periode (dit is een rentevoet per jaar van $(1+i)^{1/p}-1$, met p de periode in jaren). De rentevoet moet voor onderstaande formules groter dan nul zijn; als de rentevoet nul is geldt T = nJ.

J, T en n kunnen elk expliciet in de andere drie parameters worden uitgedrukt (voor i kan dit niet):

$J = \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}T$ (in woorden: $\text{annuïteit}$ $=\frac{\text{rentevoet}}{1-(1+\text{rentevoet})^{-\text{aantal periodes}}}\text{hoofdsom}$)

$T = \frac {1-(1+i)^{-n}} {i}J$

$n=-\frac{\text{ln}(1-\frac{iT}{J})}{\text{ln}(1+i)}$ (mits J > iT; als n geen geheel getal is is de laatste betaling minder dan J)

De postnumerando annuïteitslening is gelijkwaardig met de combinatie van een lening van een bedrag J/i, met periodieke betaling van de rente J, en het eenmalig inleggen van een spaarbedrag J/i - T waarvoor dezelfde rentevoet geldt, en de rente niet wordt opgenomen, waarbij het spaartegoed gedurende de looptijd aangroeit tot J/i, waarmee de lening wordt afbetaald. Nog weer een andere formule om de relatie tussen de vier parameters weer te geven is dan ook:

$\frac{J}{i}=(\frac{J}{i}-T)(1+i)^n$

of nog iets eenvoudiger:

$J=(J-iT)(1+i)^n$

Het aflossingsdeel van de periodieke betalingen komt in dit model overeen met de niet opgenomen ontvangen rente, waaruit blijkt dat dit exponentieel stijgt met een groeivoet gelijk aan de rentevoet. Het aflossingsdeel van de eerste periodieke betaling is J-iT, en zou J bedragen, extrapolerend, bij een hypothetische termijn na de laatste.

De restschuld na k betalingen is

$\frac{J}{i}-(\frac{J}{i}-T)(1+i)^k$

$=\frac{(1+i)^n-(1+i)^k}{(1+i)^n-1}T$

$=(1-\frac{(1+i)^k-1}{(1+i)^n-1})T$

Zie ook de uitwerking verderop.

Voorbeeld

• hoofdsom = 100.000
• rentevoet = 0,04
• aantal periodes = 10

De formule levert in stappen:

$\text{annuïteit}$$=\frac{0{,}04}{1-(1+0{,}04)^{-10}}\times 100000= \frac{0{,}04}{1-1{,}04^{-10}}\times 100000=$

$=\frac{0{,}04}{1-0{,}6755564168}\times 100000= \frac{0{,}04}{0{,}324435831}\times 100000=12329{,}09$

De prenumerando annuïteit is te berekenen door de postnumerando annuïteit te delen door (1+ rentevoet).

Huidige waarde van een vaste betaling over een vast aantal perioden

Moet iemand jaarlijks een bedrag PMT betalen over een periode van n jaren, dan is de huidige tegenwaarde van deze verplichting (zie ook boven):

$PV = PMT \frac {1-(1+i)^{-n}} {i}$

Hierin is:

• PV = contante waarde (afkorting uit het Engels 'present value' )
• PMT = periodieke betaald bedrag, of "annuïteit" (afkorting uit het Engels 'periodic payment amount' )
• n = het aantal termijnen
• i = rentevoet (als fractie)

Toegepast op een lening volgen hier enkele voorbeelden:

Voorbeeld 1

Iemand betaalt drie jaar lang jaarlijks 1000 euro, en de rentevoet is 4%.
Ingevuld in de formule wordt dan i = 0,04 (namelijk 4% = 4/100), n = 3 en PMT = 1000.

$PV= PMT \frac {1-(1+i)^{-n}} {i} = 1000 \frac {1-(1+0,04)^{-3}} {0,04}$ $= 1000 \frac {1 - 0,88899} {0,04} = 1000 * 2,775 = 2775$ euro

Merk op dat de hierboven genoemde berekening hetzelfde is voor het volgende probleem: De rente op een spaarrekening bedraagt 4%. Je wilt drie jaar lang telkens 1000 euro van je spaarrekening afhalen, maar na die drie jaar 0 euro aan eindsaldo overhouden. Hoeveel moet je dan storten? Het antwoord is weer 2775 euro.

Voorbeeld 2

Iemand wil 5000 euro lenen, en deze lening binnen drie jaar terugbetalen tegen een rentevoet van 6%. Hoeveel moet hij dan jaarlijks betalen? Ingevuld in de formule wordt dan i = 0,06 (namelijk 6% = 6/100), n = 3 en PV = 5000. Na omvormen van de formule krijgen we dus:

$PMT = PV \frac {i} {1-(1+i)^{-n}} = 5000 \frac {0.06} {1-(1+0,06)^{-3}}$ $= 5000 \frac {0,06} {1-0,83961} = 5000 \frac {0,06} {0,1604} = 1870$ euro

Hieruit volgt dat er driemaal 1870 euro betaald zal moeten worden.

Voorbeeld 3

de volgende gegevens gelden voor een hypothecaire lening (lening met huis als onderpand):

leensom S = 100.000 euro
looptijd 20 jaar
jaarrente i% =5,1%
maandrente = 0,4154%

maandlast 659,12 euro. Is deze maandlast correct?

Hoeveel bedraagt de schuld aan de bank na de eerste afbetaling?

Controle van de maandrente

$\mathrm{maandrente}=(1+\mathrm{jaarrente})^{1/12}-1$

$\mathrm{maandrente}=1{,}051^{0{,}083333}-1 = 0{,}0041538$

Afgerond geeft dit 0,4154%. Dit is dus correct.

Bepaal de periode

aantal termijnen n = 12 x 20 (12 maanden x 20 jaar)

n = 240

Controle van de maandlast

PMT = 100000 $\frac {0.004154} {1-(1+0,004154)^{-240}}$

PMT = 100000 $\frac {0.004154} {(1-0,36976225)}$

PMT = 100000 0,006591163

PMT = 659,12 euro. Dit is ook in orde.

Na betaling van maand 1

betaald 659,12 euro.

waarvan rente 100.000 x 0,004154=415,4 euro.

waarvan kapitaal 659,12 - 415,4=243,72 euro.

Dus na de eerste betaling is de schuld aan de bank verminderd met 244 euro, dus de uitstaande schuld bedraagt dan nog 100.000 - 244 = 99.756 euro.

Afleiding van de algemene formule

De hier gegeven afleiding is geen formeel bewijs, maar geeft aan op welke wijze de formule wordt 'ontdekt'.

Stel: $PV$ is het startbedrag, en $J$ is het jaarlijks betaalde bedrag, samengesteld uit rente + aflossing. De rente is $i$, de fractie van het nog openstaande totaalbedrag. Gezocht wordt de hoogte van $J$ waarvoor geldt dat na n jaar het totaalbedrag precies afgelost is.

Na jaar 1 wordt een bedrag $J \,$ betaald. Het rentegedeelte hiervan is $PV \cdot i$. Dus het aflossingsdeel is $J - PV \cdot i$. Na 1 jaar is het openstaande bedrag dus
$PV - (J - PV \cdot i) = PV \cdot (1 + i) - J$.

Na jaar 2 wordt een bedrag J betaald. Het rentegedeelte hiervan is $(PV \cdot (1 + i) - J) \cdot i$. Dus het aflossingsdeel is
$J - (PV \cdot (1 + i) - J) \cdot i = J \cdot (1 + i) - PV \cdot (i + i^2)$.
Na 2 jaar is het openstaande bedrag dus
$PV \cdot (1 + i) - J - \{J \cdot (1 + i) - PV \cdot (i + i^2)\} =$ $PV \cdot (1 + 2i + i^2) - J \cdot (2 + i)$.

Na jaar 3 wordt wederom een bedrag J betaald. Het rentegedeelte hiervan is
$(PV \cdot (1 + 2i + i^2) - J \cdot (2 + i)) \cdot i =$ $PV \cdot (i + 2i^2 + i^3) - J \cdot (2i + i^2)$. Dus het aflossingsdeel is weer J minus het rentedeel, dus
$J \cdot (1 + 2i + i^2) - PV \cdot (i + 2i^2 + i^3)$.
Na 3 jaar is het openstaande bedrag dus
$PV \cdot (1 + 3i + 3i^2 + i^3) - J \cdot (3 + 3i + i^2)$

Ook na 4 jaar wordt een bedrag J betaald. Het rentegedeelte is
$PV \cdot (i + 3i^2 + 3i^3 + i^4) - J \cdot (3i + 3i^2 + i^3)$
dus het aflossingsdeel is $J \cdot (1 + 3i + 3i^2 + i^3) - PV \cdot (i + 3i^2 + 3i^3 + i^4)$.
Na 4 jaar is het openstaande bedrag dus
$PV \cdot (1 + 4i + 6i^2 + 4i^3 + i^4) - J \cdot (4 + 6i + 4i^2 + i^3)$

Nu, na 4 keer itereren, zijn we zover dat we in het resultaat de algemene formule voor het openstaande bedrag na k jaar kunnen herkennen. Dit bedrag is
$PV \cdot (1 + i)^k - J \cdot \{(1 + i)^k - 1\}/i$

Gezocht wordt $J$ waarvoor geldt dat na n jaar het totaalbedrag precies afgelost is. De eis is dus dat het hier gegeven bedrag exact op nul uitkomt:
$PV \cdot (1 + i)^n - J \cdot \{(1 + i)^n - 1\}/i = 0$
Hieruit volgt dat $PV \cdot (1 + i)^n = J \cdot \{(1 + i)^n - 1\}/i$
en dus dat $J = \frac{PV \cdot (1 + i)^n}{\{(1 + i)^n - 1\}/i} = PV \cdot \frac{i(1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1} = PV \cdot \frac{i}{1 - \frac{1}{(1 + i)^n}}$
We kunnen dit ook schrijven als
$PV = J \frac{(1 + i)^n - 1}{i(1 + i)^n} = J \frac{1 - (1 + i)^{-n}}{i}$

Formele afleiding

Bij één van de mogelijke afleidingen wordt de totale contante waarde van de termijnen gelijkgesteld aan de hoofdsom. Een andere methode, waarmee ook de afzonderlijke aflossingen worden bepaald, staat hieronder.

We noemen a_k de aflossing na k jaren en r_k de dan betaalde rente. Dus:

$J=a_k+r_k=a_{k+1}+r_{k+1}$

Daaruit kunnen we zien dat:

$r_k-r_{k+1}=a_{k+1}-a_k$

De rente r_k+1 na k+1 jaren is minder dan de rente r_k na k jaren, en het verschil is de rente die niet meer betaald hoeft te worden over de aflossing a_k. Dus:

$r_k-r_{k+1}=i\ a_k$

Dus:

$r_k-r_{k+1}=a_{k+1}-a_k=i\ a_k$

Of:

$a_{k+1}=(1+i)\ a_k=(1+i)^k\ a_1$

(Merk op dat, zoals eerder opgemerkt, het aflossingsdeel van de periodieke betalingen exponentieel stijgt met een groeivoet gelijk aan de rentevoet.)

Alle aflossingen samen zijn gelijk aan de hoofdsom, dus:

$T=a_1+a_2+\ldots+a_n=a_1\left(1+(1+i)+(1+i)^2+\ldots+(1+i)^{n-1}\right) =\frac{(1+i)^n-1}{i}a_1=\frac{(1+i)^n-1}{i}{(J-iT)}$

Daaruit volgt voor J:

$J=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}T=\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}T$

Toekomstige (gecumuleerde) waarde van een annuïteit ingaande op einde periode (jaar)

FV = PMT $\frac {(1+i)^n-1} {i}$

FV = toekomstige waarde (afkorting uit het Engels 'future value' )

Dit is gelijk aan de waarde die na n jaar ontstaat bij het ieder kalenderjaar, te beginnen op 31 december van het eerste jaar, een bedrag PMT op de bank zetten tegen een rentefactor i.

benaderingen

Opmerking: een zeer ruwe benadering hiervan is [ PMT $\cdot \, n \cdot ( 1 + \frac{n-1}{2} i )$ ] , dus n maal het jaarlijks ingelegde bedrag, plus de gemiddelde rente.

Voor een ruwe benadering van het rente op rente effect moet ook een volgende term in de benadering worden meegenomen:
[ PMT $\cdot \, n \cdot ( 1 + \frac{n-1}{2} i + \frac{(n-1)(n-2)}{6} i^2 )$ ]

Toekomstige (gecumuleerde) waarde van een annuïteit ingaande op BEGIN periode (jaar)

FV = PMT $\frac {(1+i)^n-1} {i} (1+i)$

Het verschil met het voorgaande is slechts 1 extra periode rente; dit is de factor (1+i).

voorbeeld 4

Je stort 3 maal begin periode (jaar) 100 euro en je krijgt 10% rente

FV = 100 $\frac {(1+0,1)^3-1} {0,1} (1+0,1)$

FV= 100 . ((1,331-1)/0,1).1,1

FV=100 . 3,31. 1,1

FV=364,1 euro

Externe links

• Eenvoudige aflossingstabel op grond van formules van Wikipedia