Antisymmetrische tensor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In wiskunde en theoretische natuurkunde, bedoelt men met antisymmetrische tensor een tensor waarvan het teken omdraait onder een permutatie van twee indices. Een tensor van orde r is dus antisymmetrisch indien

T_{i_1i_2\dots i_j\dots i_k\dots i_r} = -T_{i_1i_2\dots i_k\dots i_j\dots i_r}

voor elke j en k.

Antisymmetrisatie[bewerken]

Men kan van elke tensor een antisymmetrische versie construeren, als volgt:

T_{[i_1i_2\dots i_r]} = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_r} \Pi(\sigma) T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.

Hierbij loopt de som over alle mogelijk permutaties en is \Pi(\sigma) de pariteit van de permutatie. In woorden: neem alle mogelijke permutaties van de indices, en geef ze een minteken indien de betreffende parmutatie overeenstemt met een oneven aantal wissels (negatieve pariteit). Voor een antisymmetrische tensor is dus

T_{[i_1i_2\dots i_r]}=T_{i_1i_2\dots i_r}

Voorbeelden[bewerken]

Veel tensoren die optreden in de natuurkunde zijn voor te stellen als antisymmetrische tensoren/tensorvelden. Ook het veelgebruikte antisymmetrische symbool is een voorbeeld van een antisymmetrische tensor. Tot slot komen er ook in de algemene relativiteitstheorie veel (deels) antisymmetrische tensoren voor: bijvoorbeeld de elektromagnetische tensor en de Riemann-tensor.

Zie ook[bewerken]