Arccosinus

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Arccosine.svg

De arccosinus (ook boogcosinus geheten en afgekort tot acos, arccos, bgcos of cos-1[1]) is een cyclometrische functie in de wiskunde

Een functie f met vergelijking y = f(x) is inverteerbaar als er voor ieder beeld y precies één element x is waarvoor f(x) = y.

De cosinusfunctie met vergelijking y = \cos x \, is niet inverteerbaar want er zijn, bijvoorbeeld, veel x-waarden waarvoor \cos x = 1 \,.

Indien echter het domein van de cosinusfunctie beperkt wordt tot [ 0 , \pi ] dan wordt die beperkte cosinusfunctie inverteerbaar want dan correspondeert met elk beeld y juist één element x is waarvoor \cos x = y \,.

De arcscosinusfunctie wordt gedefinieerd als de inverse functie van die beperkte cosinusfunctie.

De grafiek van y = \arccos x\, is het spiegelbeeld van de beperkte cosinus grafiek ten opzichte van de rechte y = x. Het domein is [-1,1] en het bereik is [ 0 , \pi ]\,.

Vanwege de relatie tussen de sinus en de cosinus geldt:

\arccos(x)=\frac \pi2 - \arcsin(x)

Machtreeks[bewerken]

De arccosinus heeft de volgende reeksontwikkeling:

\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{n=0}^\infty \frac{\Gamma(n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}(2n+1)n!} x^{2n+1}

Daarin is Γ de gammafunctie.

Afgeleide[bewerken]

De afgeleide van de arccosinus is:

{d \over dx}\arccos(x) = {-1 \over \sqrt{1-x^2}}

voor x \in (-1,1)

Zie ook[bewerken]

Bronnen, noten en/of referenties
  1. Dit wordt afgeraden, wegens de mogelijke verwarring met 1/cos.