Argument (complex getal)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Het argument \theta van een complex getal.

Onder argument van een complex getal z verstaat men in de complexe analyse een op een geheel veelvoud na bepaalde hoek die de halve lijn van de oorsprong naar z maakt met de positieve reële as, positief gerekend tegen de wijzers van de klok in. Een argument van z wordt weergegeven als \arg(z). Het argument van z met een waarde tussen 0 en 2π wordt de hoofdwaarde van het argument genoemd, en wordt wel genoteerd als \mathrm{Arg}(z). De zo bepaalde hoofdwaarde van het argument is gelijk aan de poolhoek van het punt z in het complexe vlak, In plaats van de beperking tot waarden in het interval [0,2π), wordt als hoofdwaarde ook wel de waarde in het interval (-π,π] gekozen.

De hoofdwaarde van het argument met waarde in het interval (-\pi,\pi] van het complexe getal z=x+iy kan als volgt met behulp van de speciaal daarvoor bestemde functie Arctan2 bepaald worden.


\mathrm{Arg}(z)= \mathrm{Arctan2}(y,x)= 
\begin{cases}
\arctan(\frac yx) & \mbox{voor}\ x > 0\\
\arctan(\frac yx) + \pi & \mbox{voor}\ x < 0,  y \ge 0\\
\arctan(\frac yx) - \pi & \mbox{voor}\ x < 0,  y < 0\\
+\frac 12 \pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y > 0\\
-\frac 12\pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y < 0\\
\text{onbepaald} & \mbox{voor}\ x = 0,\ y = 0\\
\end{cases}

Een complex getal z kan met behulp van \arg(z) en z'n modulus |z| als volgt worden weergegeven:

\!z = |z|(\cos(\arg(z)) + i \sin(\arg(z))) = |z|e^{i\arg(z)}

Als z geen zuiver imaginair getal getal is (dus niet op de verticale as ligt), geldt:

\tan\arg z=\frac{\Im(z)}{\Re(z)}=\frac{z-\bar z}{z+\bar z}\;,

waarin \bar z de complex geconjugeerde is van z.