Argument (complex getal)

Het argument $\theta$ van een complex getal.

Onder argument van een complex getal z verstaat men in de complexe analyse een op een geheel veelvoud na bepaalde hoek die de halve lijn van de oorsprong naar z maakt met de positieve reële as, positief gerekend tegen de wijzers van de klok in. Een argument van z wordt weergegeven als $\arg(z)$. Het argument van z met een waarde tussen 0 en 2π wordt de hoofdwaarde van het argument genoemd, en wordt wel genoteerd als $\mathrm{Arg}(z)$. De zo bepaalde hoofdwaarde van het argument is gelijk aan de poolhoek van het punt z in het complexe vlak, In plaats van de beperking tot waarden in het interval [0,2π), wordt als hoofdwaarde ook wel de waarde in het interval (-π,π] gekozen.

De hoofdwaarde van het argument met waarde in het interval $(-\pi,\pi]$ van het complexe getal $z=x+iy$ kan als volgt met behulp van de speciaal daarvoor bestemde functie Arctan2 bepaals worden.

$\mathrm{Arg}(z)= \mathrm{Arctan2}(y,x)= \begin{cases} \arctan(\frac yx) & \mbox{voor}\ x > 0\\ \arctan(\frac yx) + \pi & \mbox{voor}\ x < 0, y \ge 0\\ \arctan(\frac yx) - \pi & \mbox{voor}\ x < 0, y < 0\\ +\frac 12 \pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y > 0\\ -\frac 12\pi & \mbox{voor}\ x = 0,\ y < 0\\ \text{onbepaald} & \mbox{voor}\ x = 0,\ y = 0\\ \end{cases}$

Een complex getal z kan met behulp van $\arg(z)$ en z'n modulus |z| als volgt worden weergegeven:

$\!z = |z|(\cos(\arg(z)) + i \sin(\arg(z))) = |z|e^{i\arg(z)}$

Als z geen zuiver imaginair getal getal is (dus niet op de verticale as ligt), geldt:

$\tan\arg z=\frac{\Im(z)}{\Re(z)}=\frac{z-\bar z}{z+\bar z}\;,$

waarin $\bar z$ de complex geconjugeerde is van z.