Argument (complex getal)

Argument $\theta$ van een complex getal

Onder argument van een complex getal $z$ verstaat men in de functietheorie een op een geheel veelvoud van $2\pi$ na bepaalde hoek die de halve lijn van de oorsprong naar $z$ maakt met de positieve reële as, positief gerekend tegen de wijzers van de klok in. Een argument van $z$ wordt weergegeven als $\arg(z)$. Het argument van $z$ met een waarde tussen 0 en $2\pi$ wordt de hoofdwaarde van het argument genoemd en wordt genoteerd als $\mathrm {arg} (z)$. De zo bepaalde hoofdwaarde van het argument is gelijk aan de poolhoek van het punt $z$ in het complexe vlak. In plaats van de beperking tot waarden in het interval $[0,2\pi )$, wordt als hoofdwaarde ook wel de waarde in het interval $(-\pi ,\pi ]$ gekozen.

De hoofdwaarde van het argument met waarde in het interval $(-\pi ,\pi ]$ van het complexe getal $z=x+iy$ kan als volgt met behulp van de speciaal daarvoor bestemde functie arctan2 worden bepaald.

$\mathrm {arg} (z)=\mathrm {arctan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{voor}}\ x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{voor}}\ x<0,\ y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{voor}}\ x<0,\ y<0\\+{\frac {1}{2}}\pi &{\mbox{voor}}\ x=0,\ y>0\\-{\frac {1}{2}}\pi &{\mbox{voor}}\ x=0,\ y<0\\{\text{onbepaald}}&{\mbox{voor}}\ x=0,\ y=0\\\end{cases}}$

Een complex getal $z$ kan met behulp van $\arg(z)$ en z'n modulus $|z|$ als volgt worden weergegeven:

$z=|z|\ (\cos(\arg(z))+i\sin(\arg(z)))=|z|\ e^{i\arg(z)}$

Als $z$ geen zuiver imaginair getal getal is, dus niet op de imaginaire as ligt, geldt:

$\tan \arg z={\frac {\Im (z)}{\Re (z)}}={\frac {z-{\bar {z}}}{z+{\bar {z}}}}$

waarin ${\bar {z}}$ de complex geconjugeerde is van $z$.