Associatieve algebra
In de wiskunde is een associatieve algebra een vectorruimte (of meer algemeen, een moduul), die ook de bewerking vermenigvuldiging van vectoren in een distributieve en associatieve manier toestaat. Een associatieve algebra is dus een speciale algebra.
[bewerken] Definitie
Een associatieve algebra A over een veld K is gedefinieerd als een vectorruimte over K samen met een K-bilineaire vermenigvuldiging A x A → A (waar de afbeelding van (x,y) wordt geschreven als xy) zodat de associatieve wet geldt:
- (x y) z = x (y z) voor alle x, y en z in A.
De bilineairiteit van de vermenigvuldiging kan worden uitgedrukt als
- (x + y) z = x z + y z voor alle x, y, z in A,
- x (y + z) = x y + x z voor alle x, y, z in A,
- a (x y) = (a x) y = x (a y) voor alle x, y in A en a in K.
Als A een neutraal element bevat, dat wil zeggen een element 1 zodat 1x = x1 = x voor alle x in A, dan kunnen we A een associatieve algebra met één of een unitale (of unitaire) associatieve algebra. Zo'n algebra is een ring, en bevat alle elementen a van het veld K door identificatie met a1.
De dimensie van de associatieve algebra A over het veld K is zijn dimensie als een K-vectorruimte.
