Atomaire pakkingsfactor

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De atomaire pakkingsfactor, atomaire pakkingsfractie of atomaire vullingsfactor is in de kristallografie de fractie van het volume in een kristalstructuur, die wordt bezet door atomen. Het is een dimensieloos getal dat altijd kleiner is dan 1 en soms aangeduid wordt met η. Het gaat uit van een harde-bollenmodel waarin de atomen elkaar raken maar geen overlap met elkaar hebben. De atomaire pakkingsfactor is gedefinieerd als:

\eta = \frac{N_\mathrm{atomen} V_\mathrm{atoom}}{V_\mathrm{eenheidscel}}

waarin:

  • Natomen = aantal atomen in een eenheidscel;
  • Vatoom = volume van een atoom;
  • Veenheidscel = volume van de eenheidscel.

Van de veertien Bravaisroosters komen de drie kubische roosters en hexagonale roosters het meest voor onder de elementen en zouten.

Primitief kubisch rooster[bewerken]

Primitief kubische eenheidscel.

Een eenheidscel in een primitief kubisch rooster bevat acht verschillende fracties van een achtste deel uit de atomen op elk hoekpunt van de kubus. Het aantal atomen per eenheidscel is dus 1. Als de lengte van een ribbe gelijk is aan a, dan hebben de atomen een straal van lengte r = a / 2.

  • Natomen = 1;
  • Vatoom = π a3 / 6;
  • Veenheidscel = a3.


\eta_{pk} = \frac{\pi}{6} \approx 0.52360.\,\!

Ruimtelijk gecentreerd kubisch rooster[bewerken]

Eenheidscel van een kubisch ruimtelijk gecentreerd rooster.

Een eenheidscel in een ruimtelijk gecentreerd kubisch rooster bevat acht verschillende fracties van een achtste deel uit de atomen op elk hoekpunt van de kubus, en een heel atoom in het midden. Het aantal atomen per eenheidscel is dus twee.

Elk hoekatoom raakt het centrale atoom. De diagonaal die van een hoek van de kubus door het centrum naar de tegenover gestelde hoek loopt heeft een lengte 4 r, waarbij r de straal van een atoom is. Als de lengte van een ribbe van de eenheidscel gelijk aan a is, dan is de lengte van de diagonaal a√3 = 4 r.

  • Natomen = 2;
  • Vatoom = 4 π r3 / 3;
  • Veenheidscel = 64 r3 / (3 √3).


\eta_{rgk} = \frac{2 (4/3)\pi r^3}{(4r/\sqrt{3})^3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0.68017.\,\!

Vlakgecentreerd kubisch rooster[bewerken]

Eenheidscel van een kubisch vlakgecentreerd rooster.

Een eenheidscel in een vlakgecentreerd kubisch rooster bevat acht verschillende fracties van een achtste deel uit de atomen op elk hoekpunt van de kubus, en zes halve atomen in het midden van de zijvlakken. Het aantal atomen per eenheidscel is dus vier.

Elk hoekatoom raakt drie centrale atomen op elk zijvlak. De diagonaal die van een hoek van de kubus door het centrum van elk zijvlak naar de tegenover gestelde hoek loopt heeft een lengte 4 r, waarbij r de straal van een atoom is. Als de lengte van een ribbe van de eenheidscel gelijk aan a is, dan is de lengte van de diagonaal a√2 = 4 r.

  • Natomen = 4;
  • Vatoom = 4 π r3 / 3;
  • Veenheidscel = 16 r3 √2.


\eta_{vgk} = \frac{4 (4/3)\pi r^3}{16\,r^3\,\sqrt{2}} = \frac{\pi}{3\,\sqrt{2}} \approx 0.74048.\,\!

Hexagonaal dichtste stapeling[bewerken]

Drie eenheidscellen van een rooster met een hexagonale dichtste stapeling.

De eenheidscel van het rooster met een hexagonale dichtste stapeling is een vierhoekig prisma met een ruit als grondvlak. De ruit bestaat uit twee gelijkzijdige driehoeken met zijden a = 2 r met een oppervlak A van A = 2 r2 √3. De acht atomen op de acht hoeken van het prisma vormen samen een atoom. Een tweede atoom bevindt zich halverwege de verticale as, boven het midden van een van de driehoeken in het grondvlak. Het tweede atoom neemt de positie in van de top van een regelmatig viervlak op een afstand d = a √6 / 3 boven het grondvlak. De hoogte c van de eenheidscel is twee maal de hoogte van een regelmatig viervlak: c = 2 d = 4 r √6 / 3.

  • Natomen = 2;
  • Vatoom = 4 π r3 / 3;
  • Veenheidscel = 8 r3 √2.


\eta_{hds} = \frac{2 (4/3)\pi r^3}{8\,r^3\,\sqrt{2}} = \frac{\pi}{3\,\sqrt{2}} \approx 0.74048.\,\!


Dit is dezelfde waarde als van de atomaire pakkingsfactor van een vlakgecentreerd kubisch rooster.

Diamantrooster[bewerken]

Diamantrooster.

Diamant heeft een rooster dat van een kubisch vlakgecentreerd rooster afgeleid is en een dubbel aantal atomen per eenheidscel heeft. De extra posities liggen op een relatieve positie (1/4,1/4,1/4) verschoven ten opzichte van de vlakgecentreerde posities, in het centrum van de tetraëder tussen de atomen op een hoekpunt en de drie atomen op de zijvlakken van de eenheidscel. Voor de straal van de atomen geldt dan dat 2 r = a √3 / 4.

  • Natomen = 8;
  • Vatoom = 4 π r3 / 3;
  • Veenheidscel = 512 r3 / (3 √3).


\eta_{diamant} = \frac{\pi\,r^3}{16\,r^3\,/\sqrt{3}} = \frac{\pi\,\sqrt{3}}{16} \approx 0.34009.\,\!


Dit is de laagste waarde voor een atomaire pakkingsfactor in een kubisch rooster.

Zie ook[bewerken]