Automorfisme

Een automorfisme is in de wiskunde een bijectieve afbeelding van een object naar zichzelf die de structuur van het object behoudt, anders gezegd een isomorfisme van het object naar zichzelf.

Overzicht

Omdat de samenstelling van twee automorfismen weer een automorfisme is en de inverse van een automorfisme ook weer een automorfisme is, vormen de automorfismen van een vast object een groep, de automorfismegroep van het object. De studie van deze groepen speelt in veel takken van de wiskunde een belangrijke rol, en met name in de Galoistheorie is het centrale studieobject een groep van automorfismen van een lichaam.

Automorfismegroep

Hierboven werd reeds vermeld dat de samenstelling van twee automorfismen terug een automorfisme is. Dat suggereert dat de verzameling van alle automorfismen van een bepaalde structuur X een groep vormt. Inderdaad, men kan aantonen dat de groepseigenschappen (sluiting, associativiteit, identiteit en inverse) voldaan zijn indien de automorfismes een verzameling (geen klasse) vormen. Dit noemt men dus de automorfismegroep.

Hieronder het bewijs van deze uitspraak, in het geval de structuur X een groep is.

Gegeven een groep G. We definiëren de verzameling van automorfismes van G door

$Aut(G)=\left\{\varphi:G\rightarrow G|\forall_{g,h\in G}:\varphi(gh)=\varphi(g)\varphi(h)\right\}$.

Stelling: $\left(Aut(G),\circ\right)$ is een groep met $\circ$ de gewoonlijke samenstelling van afbeeldingen.

Bewijs:

We tonen achtereenvolgens de verschillende groepseigenschappen aan:

• We merken allereerst op dat $Aut(G)\neq\emptyset$, omdat $id_G:G\rightarrow G:g\mapsto g\in Aut(G)$.
• Associativiteit: $\forall_{\varphi,\psi,\chi\in Aut(G)}\forall_{g\in G}:\left(\varphi\circ\psi\right)\circ\chi(g)=\varphi\left(\psi\left(\chi(g)\right)\right)=\varphi\circ\left(\psi\circ\chi\right)(g)$.
• Sluiting: Zij $\varphi,\psi\in Aut(G)$. Er geldt nu dat

$\forall_{g,h\in G}:\varphi\circ\psi(gh)=\varphi(\psi(gh))=\varphi(\psi(g)\psi(h))=\varphi(\psi(g))\varphi(\psi(h))=\varphi\circ\psi(g)\varphi\circ\psi(h)$.

Ofwel, $\varphi\circ\psi\in Aut(G)$.

• Identiteit: Zij $\varphi\in Aut(G)$. We zien nu dat $\forall_{g\in G}:id_G\circ\varphi(g)=\varphi(g)=\varphi\circ id_G(g)$.
• Inverse: Ieder isomorfisme, en dus ook ieder automorfisme, is een bijectie en daarom inverteerbaar. Deze inverse is wederom een automorfisme en zit daarom ook in $Aut(G)$. Ofwel, $\forall_{\varphi\in Aut(G)}\exists_{\varphi^{-1}\in Aut(G)}:\varphi\circ\varphi^{-1}=\varphi^{-1}\circ\varphi=G\rightarrow G:g\mapsto g=id_G$.

Voorbeelden

• In de verzamelingenleer is een automorfisme van een verzameling X een willekeurige permutatie van de elementen van X. De automorfismegroep van X wordt ook wel aangeduid als de symmetriegroep op X.

• In de elementaire rekenkunde, wordt de verzameling van gehele getallen, Z, beschouwd als een groep onder de operatie optelling. Deze verzameling heeft een uniek niet triviaal automorfisme: negatie. Beschouwd als een ring kent de verzameling van gehele getallen alleen het triviale automorfisme. Algemeen gesproken is ontkenning een automorfisme van elke abelse groep, maar is ontkenning geen automorfisme van een ring of van een veld.

• Een groepsautomorfisme is een groepsisomorfisme van een groep op zichzelf. Informeel gesproken kan men een groep automorfisme zien als een permutatie van de groep elementen zodanig dat de structuur onveranderd blijft. Voor elke groep G bestaat er een natuurlijk groepshomomorfisme G → Aut(G), waarvan de afbeelding de groep Inn(G) van inwendige automorfismes is en waarvan de kern het centrum van groep G is. Als G dus een trivaal centrum heeft, kan dit worden ingebed in haar eigen automorfismegroep.

• In de lineaire algebra is een endomorfisme van een vectorruimte V een lineaire operator V → V. Een automorfisme is een inverteerbare lineaire operator op V. Wanneer de vectorruimte eindig-dimensionaal is, is de automorfisme groep van V is dezelfde als de algemene lineaire groep, GL(V).

• In de grafentheorie is een automorfisme van een graaf een permutatie van de knooppunten, die ribbes en niet-ribbes bewaart. Als twee knooppunten verbonden zijn door een ribbe, dan zijn hun afbeeldingen onder permutatie dat ook.

Zie ook

• homomorfisme
• isomorfisme
• endomorfisme