Axioma's van Peano

In de wiskundige logica zijn de axioma's van Peano (ook bekend als de axioma's van Dedekind-Peano of de postulaten van Peano) een verzameling van axioma's voor de natuurlijke getallen door de 19e-eeuwse Italiaanse wiskundige Giuseppe Peano. Deze axioma's zijn in vrijwel onveranderde vorm in een aantal metawiskundige onderzoekingen gebruikt, waaronder fundamenteel onderzoek naar de consistentie en volledigheid van de getaltheorie.

De behoefte aan formalisme in de rekenkunde werd niet op waarde geschat tot het werk van Hermann Grassmann, die in de jaren 1860 liet zien dat vele feiten in de rekenkunde kunnen worden afgeleid uit fundamentele feiten over de opvolgeroperatie en inductie. In 1888 stelde Richard Dedekind een collectie van axioma's over de getallen voor en in 1889 publiceerde Peano een meer precies geformuleerde versie van hen als een collectie van axioma's in zijn boek, De beginselen van de rekenkunde op een nieuwe methode gepresenteerd (Latijn:Arithmetices principia, nova methodo exposita).

De axioma's van Peano bevatten drie typen van uitspraken. De eerste vier uitspraken zijn algemene uitspraken over gelijkheid; in moderne behandelingen worden deze uitspraken vaak gezien als axioma's van pure logica. De volgende vier axioma's zijn eerste-orde uitspraken over de natuurlijke getallen, die de fundamentele eigenschappen van de opvolgeroperatie uitdrukken. Het negende en laatste axioma is een tweede orde uitspraak over het beginsel van de wiskundige inductie over de natuurlijke getallen. Een zwakker eerste-orde systeem, dat Peano-rekenkunde wordt genoemd, wordt verkregen door dit tweede-orde inductie-axioma te vervangen door een eerste-orde axiomaschema.

De axioma's van Peano

De taal waarin die gebruik wordt om de axioma's van Peano op te schrijven bevat een symbool 0 (het getal 0) en een eenplaatsig functiesymbool S (de opvolgerfunctie).

Ten eerste wordt gesteld dat 0 een natuurlijk getal is.

1. 0 is een natuurlijk getal.

De volgende vier axioma's definiëren gelijkheid. Axioma's 2-4 zeggen dat gelijkheid reflexief, symmetrisch en transitief is, en Axioma 5 dat de natuurlijke getallen onder gelijkheid afgesloten zijn.

2. Voor alle natuurlijke getallen x geldt x=x.
3. Voor alle natuurlijke getallen x en y geldt: als x=y dan y=x.
4. Voor alle natuurlijke getallen x, y en z geldt: als x=y en y=z, dan x=z.
5. Voor alle a en b geldt, dat als a een natuurlijk getal is en a=b, dan is b ook een natuurlijk getal.

Vervolgens worden de eigenschappen van de opvolgerfunctie gedefinieerd.

6. Voor elk natuurlijk getal x geldt, dat S(x) ook een natuurlijk getal is.
7. Voor elke x geldt, dat S(x)=0 onwaar is.
8. Voor alle natuurlijke getallen x en y geldt: als S(x)=S(y), dan x=y.

Het laatste axioma is het inductieaxioma, dat de bewijstechniek inductie mogelijk maakt:

9. Elke verzameling N, waarvoor geldt dat
   • $0\in N$
   • als $x\in N$ dan $S(x)\in N$
   bevat alle natuurlijke getallen.

Het inductieaxioma wordt gekwantificeerd over verzamelingen; dat maakt het een tweede-orde axioma. Eerste-orde axioma's (waarin alleen over natuurlijke getallen en niet over verzamelingen wordt gekwantificeerd) zijn in de praktijk echter handiger. Daarom wordt het inductieaxioma vaak vervangen door een axiomaschema, waardoor aftelbaar oneindig veel axioma's ontstaan. De eerste-ordePeano-axioma's zijn echter echt zwakker dan de tweede-orde Peano-axioma's.

Peano-rekenkunde

Met behulp van tweede-orde logica kunnen de gebruikelijke rekenkundige operaties worden gedefinieerd.

Optelling

De optellingsfunctie is de (unieke) binaire functie ${+}\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ waarvoor geldt:

$\begin{align} x + 0 &= x \\ x + S(y) &= S(x + y)\end{align}$

$2+1$ kan dan bijvoorbeeld als volgt worden uitgerekend:

$S(S(0)) + S(0) = S(S(S(0))+0) = S(S(S(0))) \,$

Vermenigvuldiging

De vermenigvuldigingsfunctie is de (unieke) binaire functie ${\cdot}\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ waarvoor geldt:

$\begin{align} x \cdot 0 &= 0 \\ x \cdot S(y) &= x + (x \cdot y)\end{align}$

$2\cdot2$ kan dan bijvoorbeeld als volgt worden uitgerekend:

$\begin{align}S(S(0))\cdot S(S(0)) &= S(S(0)) + (S(S(0)) \cdot S(0)) \\ &= S(S(0)) + (S(S(0)) + (S(S(0)) \cdot 0) \\ &= S(S(0)) + S(S(0)) + 0 \\ &= \cdots = S(S(S(S(0))))\end{align}$

Ordening

De gebruikelijke ordening ${\leq}\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ kan als volgt gedefinieerd worden:

$x\leq y$ als er een $z$ is zodat $x + z = y$.

Eerste-orde Peano-rekenkunde

Functies en relaties kunnen alleen met tweede-orde logica gedefinieerd worden. Peano-rekenkunde kan echter ook met de eerste-orde Peano-axioma's worden gebruikt. Daarvoor moet de taal worden uitgebreid met de symbolen ${+},{\cdot}$ en $\leq$ en de bovenstaande vergelijkingen als axioma's worden ingevoerd.