Bètafunctie

De bètafunctie van Euler is een speciale functie in de wiskunde. Hij is gedefinieerd als

$B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}{\rm d}t$

voor complexe getallen $x$ en $y$ waarvan het reële deel groter is dan 0. Deze functie is symmetrisch in $x$ en $y$, wat wil zeggen dat $B(x,y)=B(y,x)$.

De bètafunctie is gerelateerd aan de gammafunctie; er geldt

$B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$.

Andere identiteiten waaraan de bètafunctie voldoet, zijn

$B(x,y)=2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,{\rm d}\theta\qquad({\rm Re}(x)>0,\ {\rm Re}(y)>0)$

$B(x,y)=\int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,{\rm d}t\qquad({\rm Re}(x)>0,\ {\rm Re}(y)>0)$

$B(x,y)=\frac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(x)_{n+1}}{n!(x+n)}$.

Externe links

• Bètafunctie op MathWorld