Bézierkromme

Een Bézierkromme met graad 3 (vier punten)

Een Bézierkromme (of Béziercurve) is in de wiskunde een type parametrische kromme, bepaald door twee of meer punten in een vlak of ruimte, die het eerste punt verbindt met het laatste, vertrekkend in de richting van het tweede punt, steeds de richting aanpassend naar een volgend punt, en aankomend bij het laatste vanuit de richting van het voorafgaande punt. De parametrische voorstelling wordt gegeven door het algoritme van Paul de Casteljau. In hogere dimensies bestaan ook Bézier-oppervlakken met overeenkomstige eigenschappen.

Geschiedenis

Pierre Bézier was een Franse ingenieur die deze krommen in de automobielindustrie (Renault) gebruikte.

Definitie

De Béziercurve van graad n, bepaald door de n+1 punten P₀, ...,P_n in $\R^3$, is de parametrische kromme B(t), gegeven door:

$B(t)= \sum_{i=0}^n b_{i,n}(t)P_i \mbox{ , } t \in [0,1]$,

waarin b_i,n zgn. Bernsteinpolynomen zijn, gedefinieerd als:

$b_{i,n}(t)= {n \choose i} t^i (1-t)^{n-i} \mbox{ , } i=0,\ldots n.$

Voorbeelden

Lineaire Bézierkromme

De Bézierkromme van graad 1, opgebouwd uit twee punten P₀ en P₁, is niets anders dan de verbindende rechte lijn tussen deze twee punten:

$B(t)=(1-t)P_0 + tP_1 \mbox{ , } t \in [0,1]$.

Gesloten vorm voor 2D geeft met $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ en $P_1=(x_1,y_1,z_1)$:

$(x-x_0)(y_1-y_0)-(y-y_0)(x_1-x_0)=0$

$(y-y_0)(z_1-z_0)-(z-z_0)(y_1-y_0)=0$

$(z-z_0)(x_1-x_0)-(x-x_0)(z_1-z_0)=0$

Twee van de 3 vergelijkingen zijn nodig om de curve te beschrijven. In 2 dimensies houden we 1 van deze 3 vergelijkingen over.

Kwadratische Bézierkromme

De Bézierkromme van graad 2, opgebouwd uit de drie punten P₀, P₁ en P₂:

$B(t) = (1 - t)^{2}P_0 + 2t(1 - t)P_1 + t^{2}P_2 \mbox{ , } t \in [0,1]$.

Gesloten vorm in 2D:

$P_0=(x_0,y_0)$ etc.

$(x-x_0)^2(y_0+y_2-2y_1)^2+ (y-y_0)^2(x_0+x_2-2x_1)^2 -2(x-x_0)(y-y_0)(y_0+y_2-2y_1)(x_0+x_2-2x_1)+ 4[(x-x_0)(y_1-y_0)-(y-y_0)(x_1-x_0)][(x_1-x_0)(y_0+y_2-2y_1)-(y_1-y_0)(x_0+x_2-2x_1)] =0$

In 3D hebben we $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ etc. Dit kan niet gereduceerd worden tot 1 enkele vergelijking. In plaats daarvan hebben we naast de bovenstaande nog een van de twee volgende vergelijkingen nodig:

$(x-x_0)^2(z_0+z_2-2z_1)^2+ (z-z_0)^2(x_0+x_2-2x_1)^2 -2(x-x_0)(z-z_0)(z_0+z_2-2z_1)(x_0+x_2-2x_1)+ 4[(x-x_0)(z_1-z_0)-(z-z_0)(x_1-x_0)][(x_1-x_0)(z_0+z_2-2z_1)-(z_1-z_0)(x_0+x_2-2x_1)] =0$

$(y-y_0)^2(z_0+z_2-2z_1)^2+ (z-z_0)^2(y_0+y_2-2y_1)^2 -2(y-y_0)(z-z_0)(z_0+z_2-2z_1)(y_0+y_2-2y_1)+ 4[(y-y_0)(z_1-z_0)-(z-z_0)(y_1-y_0)][(y_1-y_0)(z_0+z_2-2z_1)-(z_1-z_0)(y_0+y_2-2y_1)] =0$

Derde-graads Bézierkromme

De Bézierkromme van graad 3, opgebouwd uit de vier punten (in een vlak, of in de ruimte) P₀, P₁, P₂ en P₃, is:

$B(t)=(1-t)^3P_0 + 3t(1-t)^2P_1+ 3t^2(1-t)P_2+t^3P_3 \mbox{ , } t \in [0,1]$.

Toepassingen

Derde-graads Bézierkrommen worden veel gebruikt. Zij verbinden het beginpunt P₀ met het eindpunt P₃ en kunnen door de keuze van de tussengelegen punten P₁ en P₂ zo aangepast worden dat de gewenste begin- en eindrichting verkregen wordt, en de kromme ook nog door een gewenst punt gaat.

Praktisch worden ze gebruikt:

• voor afbeeldingen, om gladde krommen te tekenen;
• voor lettertypes: TrueType-lettertypes gebruiken eenvoudige kwadratische Bézierkrommes

Mediabestanden

Zie de categorie Bezier Curves van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.