Bal (wiskunde)

In de wiskunde is een bal een binnenkant van een sfeer; beide concepten zijn niet alleen van toepassing in de drie-dimensionale ruimte, maar ook voor hogere en lagere dimensies en voor metrische ruimten in het algemeen.

Ballen in algemene metrische ruimten

Laat (M,d) een metrische ruimte zijn, namelijk een verzameling M met een metrieke (afstandsfunctie) d. De open (metrische) bal met straal r > 0 gecentreerd op een punt p in M, meestal aangegeven door

$B_r(p)$ of $B(p;r)$,

wordt gedefinieerd door

$B_r(p) \triangleq \{ x \in M \mid d(x,p) < r \},$

De gesloten (metrische) bal, die kan worden aangeduid door $B_r[p]$ of $B[p;r]$, wordt gedefinieerd door

$B_r[p] \triangleq \{ x \in M \mid d(x,p) \le r \},$

Merk in het bijzonder op dat een (open of gesloten) bal altijd zelf het punt, p bevat, dit aangezien de definitie r > 0 vereist.

De afsluiting van de open bal $B_r(p)$ wordt meestal aangeduid door

$\overline{ B_r(p)) }$.

Hoewel

$B_r(p) \subseteq \overline{ (B_r(p)) }$ en $B_r(p) \subseteq B_r[p]$

altijd gelden, is hier niet altijd sprake van voor

$\overline{ (B_r(p)) } = B_r[p]$.

In een metrische ruimte $X$ met een discrete metriek geldt bijvoorbeeld voor elke $p \in X$, dat

$\overline{B_1(p)} = \{p\}$ en $B_1[p] = X$.

Een (open of gesloten) eenheidsbol is een bal met straal 1.

Een deelverzameling van een metrische ruimte is begrensd, indien deze deelverzameling geheel door een bal kan worden omsloten. Een verzameling is volledig begrensd als deze verzameling, gegeven een positieve straal, kan worden overdekt door een eindig aantal ballen met deze straal.

De open ballen van een metrische ruimte zijn een basis voor een topologische ruimte, waarvan de open verzamelingen alle mogelijke verenigingen van open ballen. Deze ruimte wordt ook wel de door de metriek d geïnduceerde topologie genoemd.

Topologische ballen

In elke topologische ruimte $X$, die niet noodzakelijkerwijs door een metriek is geïnduceerd, kan men over ballen spreken, Een (open of gesloten) n-dimensionale topologische bal van $X$ is elke deelverzameling van $X$ die homeomorf is ten opzichte van een (open of gesloten) Euclidische n-bal. Topologische n-ballen zijn belangrijk in de combinatoriële topologie, als de bouwstenen van het celcomplexen.

Een open topologische n-bal is homeomorf ten opzichte van de Cartesische ruimte $\R^n$ en de open eenheids n-kubus $(0,1)^n \subseteq \R^n$. Een gesloten topologische n-bal is homeomorf ten opzichte van de gesloten n-kubus $[0,1]^n$.

Een n-bal is homeomorf ten opzichte van een m-bal dan en slechts dan als n=m. De homeomorfismen tussen een open n-bal $B$ en $\R^n$ kunnen worden ingedeeld in twee klassen, die geïdentificeerd kunnen worden met de twee mogelijke topologische oriëntaties van $B$.

Een topologische n-bal hoeft niet glad te zijn; als de n-bal glad is, hoeft deze niet diffeomorf te zijn ten opzichte van een Euclidische n-bal.

Zie ook

• Schijf (wiskunde), de bal in twee dimensies
• Bol (lichaam), de (verwarrende, maar courante) term voor een bal in drie dimensies.
• Sfeer (wiskunde), de rand van een bal.
• Eenheidsbal, een bal met straal 1.
• Variëteit
• Omgeving

Mediabestanden

Zie de categorie Spheres van Wikimedia Commons voor meer mediabestanden.