Bandmatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een bandmatrix is een vierkante matrix waarbij buiten een aantal diagonalen slechts nullen voorkomen. Diagonalen zijn lijnen in de matrix die schuin van linksboven naar rechtsonder lopen. Op een diagonaal is het verschil van de rij-index en de kolomindex van de elementen constant. De hoofddiagonaal is de lijn waarop deze twee indices gelijk zijn en loopt van het element links bovenaan naar het element rechts onderaan.

Een bandmatrix met buiten de hoofddiagonaal alle elementen gelijk aan nul, heet een diagonaalmatrix. Deze heeft dus de structuur:


\begin{bmatrix}
   {a_{1,1}} & {0} & {   } & {   } & { 0 } \\
   {0} & {a_{2,2}} & {0} & {   } & {   } \\
   {   } & {0} & {a_{3,3}} & \ddots & {   } \\
   {   } & {   } & \ddots & \ddots & {0}\\
   { 0 } & {   } & {   } & {0} & {a_{n,n}}\\
\end{bmatrix}

Een tridiagonale matrix heeft naast de hoofddiagonaal ook nog de twee naastliggende nevendiagonalen waarop elementen ongelijk aan nul kunnen voorkomen. De structuur is dus:


\begin{bmatrix}
   {a_{1,1}} & {a_{1,2}} & {   }  & {   }  & { 0 } \\
   {a_{2,1}} & {a_{2,2}} & {a_{2,3}}  & {   }  & {   } \\
   {   } & {a_{3,2}} & {a_{3,3}}  & \ddots & {   } \\
   {   } & {   } & \ddots & \ddots & {a_{n-1,n}}\\
   { 0 } & {   } & {  }  & {a_{n,n-1}}  & {a_{n,n}}\\
\end{bmatrix}

waarbij de elementen a_{i+1,i} de onderdiagonaal (subdiagonaal) vormen en de elementen a_{i,i+1} de bovendiagonaal (superdiagonaal). Op de onderdiagonaal is de rij-index van de elementen steeds één meer dan de kolomindex, en op de bovendiagonaal een minder. Een tridiagonale matrix is tegelijk een boven- en beneden-Hessenbergmatrix.

Een bandmatrix met twee langsliggende nevendiagonalen aan elke zijde van de hoofddiagonaal heet een pentadiagonale matrix. De structuur is dan:


\begin{bmatrix}
   {a_{1,1}} & {a_{1,2}} & {a_{1,3}} & { 0 } & {     } & { 0 } \\
   {a_{2,1}} & {a_{2,2}} & {a_{2,3}} & {a_{2,4}} & {     }  &{ 0 } \\
   {a_{3,1}} & {a_{3,2}} & {a_{3,3}} & {a_{3,4}} & \ddots & { 0 }\\
   { 0 } & {a_{4,2}} & {a_{4,3}} & {a_{4,4}} & \ddots & { a_{n-2,n} }\\ 
   {   } & {   } & \ddots & \ddots & \ddots & {a_{n-1,n}}\\
   { 0 } & {   } & {   } & { a_{n,n-2}} & {a_{n,n-1}} & {a_{n,n}}\\
\end{bmatrix}

In de praktijk kan een bandmatrix op een zeer economische manier opgeslagen worden door in de horizontale richting de matrix dicht te schuiven zodat de diagonaal elementen boven elkaar komen te staan. Een tridiagonale n×n-matrix kan zo worden opgeslagen als een n×3-matrix. Bij zeer grote bandmatrices, zoals die regelmatig voorkomen in de numerieke wiskunde bij het oplossen van grote stelsels, wordt zo vermeden een groot deel van het beschikbare geheugen op te vullen met nutteloze nullen. Men dient er dan wel rekening mee te houden dat coëfficiënten behorend bij eenzelfde onbekende, nu niet meer onder elkaar staan, maar schuin onder elkaar, van rechtsboven naar linksonder.

Voor stelsels van lineaire vergelijkingen waarvan de coëfficiëntenmatrix een tridiagonale matrix is, kan het tridiagonale-matrix-algoritme gebruikt worden.

Zie ook[bewerken]