Barycentrische coördinaten

Tekens van de barycentrische coördinaten in verschillende gebieden ten opzichte van de basisdriehoek ABC.

Barycentrische coördinaten vormen een coördinatenstelsel waarmee een punt vastgelegd wordt ten opzichte van de hoekpunten van een simplex. Dit is een generalisatie in meer dimensies van een driehoek.

De naam komt van de term barycentrum, een ander woord voor massamiddelpunt of zwaartepunt. Zet men in de hoekpunten van de simplex massa's ter grootte van de barycentrische coördinaten van een punt, dan is het punt juist het zwaartepunt van de massa's. Barycentrische coördinaten zijn op een gemeenschappelijke factor na eenduidig. Het zijn dus de verhoudingen van de coördinaten die het punt bepalen. Het is daarom wel gebruikelijk de barycentrische coördinaten te scheiden door deeltekens (dubbelepunten). Barycentrische coördinaten zijn geïntroduceerd door August Ferdinand Möbius in (1827).

Is de simplex een gegeven driehoek ABC met zijden a,b,c ; dan kan een punt in het vlak van de driehoek door drie barycentrische coördinaten worden aangegeven. Het punt met barycentrische coördinaten (x:y:z) is het punt:

$\frac{xA+yB+zC}{x+y+z}$

Definitie

Als in een vectorruimte de simplex met hoekpunten $x_1,x_2,\ldots ,x_m$ gegeven is en voor een punt $y$ zijn er getallen $a_1,a_2,\ldots ,a_m$ waarvoor geldt:

$(a_1+a_2+\ldots +a_m)y=a_1x_1+a_2x_2+\ldots +a_mx_m$

dan heten $(a_1 : a_2 : \ldots : a_m)$ barycentrische coördinaten van $y$ ten opzichte van de simplex.

Dit betekent dat $y$ het massamiddelpunt of zwaartepunt is van de massa's $a_1,a_2,\ldots ,a_m$ geplaatst in de hoekpunten $x_1,x_2,\ldots ,x_m$ van de simplex.

Barycentrische coördinaten zijn homogeen, wat wil zeggen dat voor verschillende waarden van $c\ne$ de coördinaten $(ca_1 : ca_2 : \ldots : ca_m)$alle hetzelfde punt aanwijzen.

Alternatieve definitie met oppervlaktes

De barycentrische coördinaten van een punt P ten opzichte van een driehoek worden gegeven door het tripel

$\left( Opp(PBC) : Opp(APC) : Opp(ABP) \right)$

waarbij bijvoorbeeld Opp(PBC) positief is als PBC en ABC dezelfde oriëntatie hebben, en negatief als de oriëntaties tegengesteld zijn. De tekens (- + -) en (- - +) in de tekening zijn abusievelijk verwisseld.

Genormaliseerde barycentrische coördinaten

Vaak wordt gewerkt met genormaliseerde barycentrische coördinaten, dat wil zeggen dat de som van de coördinaten gelijk is aan 1. In dat geval worden de coördinaten wél gescheiden met komma's. De absolute barycentrische coördinaten van het zwaartepunt van een driehoek zijn bijvoorbeeld $\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{3}\right)$.

Voorbeeld

Hieronder staan van een aantal bijzondere punten in de driehoek ABC met zijden a, b en c de barycentrische coördinaten. Daarin is:

2s =a + b + c; t_a = tan(A), t_b = tan (B), t_c = tan(C) en t = t_a + t_b + t_c

• A: (1:0:0)
• B: (0:1:0)
• C: (0:0:1)
• het zwaartepunt Z: (1:1:1)
• het middelpunt I van de ingeschreven cirkel: (a:b:c)
• het hoogtepunt H: (t_a:t_b:t_c)
• het middelpunt O van de omgeschreven cirkel: (t-t_a : t-t_b : t-t_c)
• het punt van Nagel N: (s-a : s-b : s-c)
• het punt van Fermat F: (t_a/(t_a+√3) : t_b/(t_b+√3) : t_c/(t_c+√3)
• het punt van Hofstadter Ho: (a.t-s.t_a : b.t-s.t_b : c.t-s.t_c)
• het punt van Fuhrmann Fu: ((s-a).t+s.t_a : (s-b).t+s.t_b : (s-c).t+s.t_c)

Verband met Cartesische coördinaten

Als de hoekpunten van een driehoek in een vlak gegeven zijn in Cartesische coördinaten als A = (x_A,y_A), B = (x_B,y_B) en C = (x_C,y_C), dan zijn de Cartesische coördinaten voor het punt met genormaliseerde barycentrische coördinaten (u:v:w)

$\left( ux_A + vx_B + wx_C , uy_A + vy_B + wy_C \right).$

Lijnen in het vlak

Drie punten $P_1=(x_1:y_1:z_1) \,$, $P_2=(x_2:y_2:z_2) \,$ en $P_3=(x_3:y_3:z_3) \,$ zijn collineair, dan en slechts dan als:

$\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{array} \right|=0.$

Hieruit volgt dat een lijn in barycentrische coördinaten wordt gegeven door een formule van de vorm $fx + gy + hz=0 \,$, in het bijzonder is de lijn door :$P_1 \,$ en $P_2 \,$ gegeven door $(y_1z_2-y_2z_1)x + (z_1x_2-z_2x_1)y + (x_1y_2-x_2y_1)z = 0 \,$

Soms worden de coëfficiënten van zo’n lijn weergegeven als barycentrische lijncoördinaten, geschreven als [f:g:h], met vierkante haken. Dit weerspiegelt de dualiteit van lijn en punt in het projectieve vlak. Drie lijnen

$\ell_1=[x_1:y_1:z_1] \,$, $\ell_2=[x_2:y_2:z_2] \,$ en $\ell_3=[x_3:y_3:z_3] \,$

zijn concurrent dan en slechts dan als de determinant hierboven gelijk is aan 0.

De oneindig verre rechte

Een speciale plaats wordt ingenomen door de lijn $\ell^\infty=[1:1:1] \,$, de oneindig verre rechte. Punten die op deze rechte liggen hebben geen genormaliseerde barycentrische coördinaten.

Zie ook

• Coördinaat
• Trilineaire coördinaten
• Simplex