Basis (lineaire algebra)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de lineaire algebra is een basis van een vectorruimte een verzameling van lineair onafhankelijke vectoren die de vectorruimte voortbrengen. Een element uit een basis wordt basisvector genoemd. Voor een gegeven basis is iedere vector uit de vectorruimte een eenduidige eindige lineaire combinatie van de basisvectoren. De coëfficiënten van deze lineaire combinatie heten de coördinaten van de vector ten opzichte van de gegeven basis. Intuïtief beschouwd is een basis een zo klein mogelijke verzameling vectoren die de hele vectorruimte voortbrengen. Een vectorruimte heeft in het algemeen meerdere bases. Ter onderscheiding van andere typen basis, wordt de hier gedefinieerde basis ook Hamelbasis (naar Georg Hamel) genoemd.

Definitie[bewerken]

Binnen een vectorruimte V over een lichaam K wordt een stelsel vectoren \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} een basis van V genoemd, indien dit stelsel vectoren voldoet aan de volgende twee voorwaarden:

  1. de vectoren v_1, v_2, \ldots, v_n zijn lineair onafhankelijk in V, of anders gezegd: een basis is een vrij deel van V
  2. het stelsel is volledig, wat inhoudt dat iedere vector v\in V een lineaire combinatie is van de vectoren v_1, v_2, \ldots, v_n, of anders gezegd: de vectoren van een basis zijn een voortbrengend deel van V.

Omdat de vectoren in een basis lineair onafhankelijk zijn, is de bovengenoemde lineaire combinatie uniek. Bij elk element v\in V zijn er dus eenduidig bepaalde getallen (scalairen) \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\in K te vinden, zodat:

v=\alpha_1v_1+\alpha_2 v_2+ \ldots +\alpha_n v_n

De getallen \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n heten de coördinaten van de vector v ten opzichte van de basis \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}.

Dimensie[bewerken]

Er kan worden bewezen dat elke eindige basis van een vectorruimte uit hetzelfde aantal vectoren bestaat. Dit aantal is dus op te vatten als een eigenschap van de vectorruimte en wordt de dimensie genoemd.

Als de dimensie van een vectorruimte n is, bevat elk voortbrengend deel ten minsten n vectoren en een vrij deel ten hoogsten n vectoren. Bevat een voortbrengend deel of een vrij deel juist n vectoren, dan vormen ze een basis van die vectorruimte.

Verder is het zo dat, onder de veronderstelling van de geldigheid van het keuzeaxioma, iedere vectorruimte een basis heeft. Men kan het begrip basis volkomen analoog definiëren voor een moduul over een commutatieve ring, maar niet ieder moduul heeft een basis.

In sommige soorten oneindig-dimensionale vectorruimten, met name Banachruimten, wordt een ander begrip "basis" gehanteerd dan het bovenstaande. Men laat toe dat de "lineaire combinatie" een norm-convergente oneindige reeks van vectoren is. Zo'n basis wordt wel een Schauderbasis genoemd ter onderscheiding van een gewone basis zoals in de definitie hierboven, die dan met Hamelbasis wordt aangeduid.

Voorbeelden[bewerken]

De vectoren (1,0) en (0,1) vormen een basis voor \mathbb{R}^2, de zogenaamde basis van eenheidsvectoren. Deze basis is een orthonormale basis. Ook de vectoren (1,3) en (2,3) vormen een basis, zoals trouwens elk tweetal lineair onafhankelijke vectoren.

Een minder triviaal voorbeeld

 \{ 1 , \sqrt{3} \}

is een basis voor de vectorruimte

 \mathbb{Q}(\sqrt{3}) = \{ \; q + r \sqrt{3} \, | \, q,r \, \in \, \mathbb{Q} \; \} over \mathbb{Q}.

Orthogonaliteit[bewerken]

Voor vectorruimten over het scalairenlichaam \mathbb{R} of \mathbb{C} bestaat de notie van een inproduct. Men noemt twee vectoren die verschillend zijn van de nulvector, orthogonaal of loodrecht als hun inproduct nul is. Een eenheidsvector is een vector waarvan het inproduct met zichzelf 1 bedraagt.

Een orthogonale basis is een basis waarvan de vectoren onderling loodrecht zijn. Een orthonormale basis is een orthogonale basis die uit eenheidsvectoren bestaat. In een eindigdimensionale vectorruimte met een scalair product kan men uit een gewone basis een orthonormale basis distilleren met behulp van het GS-procedé. Dit procedé blijft geldig in een oneindigdimensionale separabele Hilbertruimte om een Schauderbasis orthonormaal te maken.

Geordende basis[bewerken]

Een basis op zich is een verzameling vectoren, zonder ordening. In veel gevallen is het gewenst de beschikking te hebben over een geordende basis, zodat gesproken kan worden van bijvoorbeeld de eerste of de tweede basisvector. Dan liggen ook de coördinaten ten opzichte van die basis vast als een rij getallen. Een geordende basis is een rij vectoren die een basis vormen. Ze wordt voor eindige dimensies genoteerd als

(b_1, b_2,\ldots, b_n) of \{b_i|i=1,2,\ldots,n\}

Ook notaties als

(b_1, b_2,\ldots), \{b_i|i\in I\} en (b_i)_{i\in I},

met index-verzameling I worden gebruikt, die ook geschikt zijn voor niet-eindige dimensies.