Basis (topologie)

De topologie $\mathcal{T}$ van een topologische ruimte $(X,\mathcal{T})$ is vaak een zeer grote familie deelverzamelingen van $X$ die moeilijk uitdrukkelijk te omschrijven is. Het begrip basis laat toe de topologie eenduidig vast te leggen met een beperkte deelfamilie van $\mathcal{T}$.

Definitie

Als $(X,\mathcal{T})$ een topologische ruimte is, dan is een basis $\mathcal{B}$ een deelcollectie van $\mathcal{T}$ met de eigenschap dat elk element van $\mathcal{T}$ de vereniging is van elementen van $\mathcal{B}$. Deze vereniging mag eventueel oneindig of leeg zijn.

Voorbeelden

• De collectie van open intervallen vormt een basis voor de gebruikelijke topologie van $\mathbb{R}$
• De collectie van open intervallen waarvan de eindpunten breuken zijn, vormt een andere basis voor diezelfde topologie. Deze basis heeft bovendien de handige eigenschap dat ze uit een aftelbaar aantal delen van $\mathbb{R}$ bestaat.
• In een metrische ruimte $(X,d)$ vormen de open bollen $\{B(x,r);x\in X, r>0\}$ een basis voor de metrische topologie. Ook hier kunnen we ons gerust beperken tot bollen waarvan de straal $r$ een rationaal getal (breuk) is, maar de middelpunten $x$ zijn niet altijd aftelbaar.
• Een topologie is altijd een basis van zichzelf.

Equivalentie

Elke twee bases $\mathcal{B}_{1}$ en $\mathcal{B}_{2}$ van eenzelfde topologie zijn equivalent in de volgende zin:

• Voor elke $B_{1}\in\mathcal{B}_{1}$ en $x\in B_{1}$ is er een $B_{2}\in\mathcal{B}_{2}$, zodanig dat $x\in B_{2}\subset B_{1}$
• Voor elke $B_{2}\in\mathcal{B}_{2}$ en $x\in B_{2}$ is er een $B_{1}\in\mathcal{B}_{1}$, zodanig dat $x\in B_{1}\subset B_{2}$

Omgekeerd, als twee bases van topologieën aan bovenstaande twee eigenschappen voldoen, dan brengen ze dezelfde topologie voort.

Tweede aftelbaarheid

Een ruimte die een basis heeft met aftelbaar veel elementen wordt tweede aftelbaar genoemd. Tweede aftelbaarheid is een topologisch invariant. Een voorbeeld van een tweede aftelbare ruimte is $\mathbb{R}$ met de gebruikelijke topologie. Immers de collectie $\{(a,b): a,b\in\mathbb{Q}\}$ is een basis en omdat de breuken $\mathbb{Q}$ aftelbaar zijn, is de basis het ook.

Lokale basis

Er bestaat ook een lokale versie van het begrip basis:

Definitie

Als $(X,\mathcal{T})$ een topologische ruimte is en a een element uit 'X, dan is een lokale basis in a $\mathcal{B}_{a}$ een deelcollectie van $\mathcal{T}$ zodanig dat:

• a een element is van elk lid van $\mathcal{B}_{a}$
• Elke open verzameling die a bevat, bevat een element van $\mathcal{B}_{a}$ als deelverzameling.

Voorbeelden

• Als $a$ een reëel getal is, dan is de verzameling $\{(a-r,a+r);r>0\}$ een lokale basis in $a$.
• Voor elke metrische ruimte is de verzameling van open ballen rondom $a$ een lokale basis in $a$. Ook de verzameling open ballen met rationale straal rondom $a$ is een lokale basis in $a$.
• Voor elke topologie is de verzameling van open verzamelingen die a bevatten een lokale basis in a.

Eerste aftelbaarheid

Een topologische ruimte $X$ heet eerste aftelbaar als er voor elk element $a$ van $X$ een aftelbare lokale basis bestaat. Ook eerste aftelbaarheid is een continu-invariant.

Duidelijk is dat tweede aftelbaarheid eerste aftelbaarheid impliceert. Uit het tweede voorbeeld hierboven volgt tevens dat elke metrische ruimte eerste aftelbaar is.

Het begrip sigma-lokaal-eindige basis ligt tussen eerste en tweede aftelbaarheid in.

Subbasis

Niet elke familie delen van een verzameling $X$ is automatisch de basis van één of andere topologie op $X$. Een basis $\mathcal{B}$ van een topologie voldoet steeds aan de eigenschap dat iedere eindige doorsnede van leden van $\mathcal{B}$ kan geschreven worden als vereniging van elementen van $\mathcal{B}$:

$\forall B_1,B_2\in\mathcal{B}, \exists\{A_i\in\mathcal{B};i\in I\}:B_1\cap B_2=\cup_{i\in I} A_i$

We kunnen wel iedere willekeurige familie $\mathcal{F}$ van delen van $X$ uitbreiden tot een basis door er alle eindige doorsneden aan toe te voegen:

$\mathcal{B}:=\{F_1\cap F_2\cap\ldots\cap F_n;n\in\mathbb{N},F_i\in\mathcal{F}\}$

Definitie

Als $(X,\mathcal{T})$ een topologische ruimte is, dan heet een deelcollectie $\mathcal{S}$ van $\mathcal{T}$ een subbasis voor $\mathcal{T}$ als alle eindige doorsnedes van $\mathcal{S}$ een basis vormen voor $\mathcal{T}$. Hierbij geldt de gebruikelijke afspraak dat de doorsnede van 0 deelverzamelingen de verzameling $X$ zelf oplevert.

Elke familie deelverzamelingen $\mathcal{F}$ van een verzameling $X$ is subbasis van precies één topologie $\mathcal{T}$ op $X$. We noemen dit de topologie voortgebracht door $\mathcal{F}$.

De topologie voortgebracht door $\mathcal{F}$ kan ook gekarakteriseerd worden als de kleinste (grofste) topologie op $X$ waarin de leden van $\mathcal{F}$ open zijn, of ook nog als de doorsnede van alle topologieën op $X$ waarin de leden van $\mathcal{F}$ open zijn.

Voorbeelden

De collectie van alle open intervallen in de vorm $(a,\infty)$ en $(-\infty,b)$ vormen een subbasis voor de gebruikelijke topologie voor $\mathbb{R}$.

De lege familie brengt de indiscrete topologie $\{\emptyset,X\}$ voort.