Beet-getal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde worden de oneindige kardinaalgetallen weergegeven door de Hebreeuwse letter \aleph (alef) geïndexeerd met een subscript dat over de ordinaalgetallen loopt (zie alef-getal). De tweede Hebreeuwse letter \beth (beet) wordt op een hiervan verwante manier gebruikt, maar indexeert niet noodzakelijkerwijs dezelfde getallen die door \aleph worden geïndexeerd.

Definitie[bewerken]

Om de beet-getallen te definiëren beginnen wij met

\beth_0=\aleph_0

de kardinaliteit van enige aftelbare oneindige verzameling; Neem om het concreet te maken de verzameling \mathbb{N} van natuurlijke getallen als een typisch geval. P(A) duidt de machtsverzameling van A aan, dat wil zeggen de verzameling van alle deelverzamelingen van A. Definieer dan

\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}},

wat de kardinaliteit is van de machtsverzameling van A, als \beth_{\alpha} de kardinaliteit van A is.

Gegeven deze definitie zijn,

\beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots

respectievelijk de kardinaliteiten van

\mathbb{N},\ P(\mathbb{N}),\ P(P(\mathbb{N})),\ P(P(P(\mathbb{N}))),\ \dots.

zodat het tweede beet-getal \beth_1 gelijk is aan c (of \mathfrak c\!), de kardinaliteit van het continuüm, en het derde beet-getal \beth_2 de kardinaliteit is van de machtsverzameling van het continuüm.

Vanwege de stelling van Cantor heeft elke verzameling in de hierboven getoonde rij een kardinaliteit die strikt genomen groter is dan de eraan voorafgaande verzameling. Voor oneindige limietordinalen, λ, wordt het overeenkomstige beet-getal gedefinieerd als het supremum van de beet-getallen voor alle ordinaalgetallen die strikt genomen kleiner zijn dan λ:

\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda \}.

Men kan ook aantonen dat de von Neumann-universa V_{\omega+\alpha} \! een kardinaliteit \beth_{\alpha} \! hebben