Beginsel van Ekeland

In de theorie van de metrische ruimten kent men het beginsel van Ekeland, dat onder andere veel toepassingen kent binnen de functionaalanalyse. De grote kracht van dit beginsel is dat er uiterst weinig wordt verondersteld. Bijvoorbeeld: Waar in de meeste stellingen continuïteit van functies wordt geëist, wordt hier volstaan met half-continuïteit van beneden. De stelling gaat als volgt:

Stelling

Zij $(M,d)$ een volledige metrische ruimte en $F: M \to\mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ een naar beneden begrensde niet constante functie.
Veronderstel verder dat $F$ half-continu van beneden is. Laat nu $\epsilon >0$ zijn en $u \in M$ zó dat $F(u) \le \inf_M F + \epsilon$,
dan is er een punt $v \in M$ waarvoor geldt

• $F(v)\le F(u)$
• $d(u,v)\le 1$ en
• $\forall w \in M, w \ne v: F(w) > F(v) - \epsilon d(v,w)$

Opmerkingen

Brézis en Browder hebben aangetoond dat het Ekelandprincipe gezien kan worden als een ordeningsvraagstuk, waarbij als ordening de relatie $x \le y$ in $M$ staat voor $F(y)-F(x) \le -\epsilon d(x,y)$.
Als voorbeeld van een toepassing van het beginsel van Ekeland kennen we de dekpuntstelling van Caristi.

Referenties

• Ivar Ekeland (1980). Nonconvex minimization problems. Bull. AMS (New Series) 1: 443–474.
• H. Brézis and F.E.Browder (1976). A general principle on ordered sets in nonlinear functional analysis. Adv. in Math. 21: 355–364.