Begrensdheid

Begrensde verzameling (boven) en onbegrensde verzameling (onder)

In de wiskunde is een object begrensd als het eindige afmetingen heeft.

Begrensde verzameling

In de meetkunde heet een deelverzameling $V$ van het vlak of de ruimte begrensd als er een bovengrens $D\in \mathbb {R}$ bestaat voor alle onderlinge afstanden tussen punten van $x,y\in V$:

$d(x,y)\leq D$

De verzameling van dergelijke getallen $D$ vormt een gesloten halve rechte, en het minimum van die rechte is de diameter van $V$.

Bovenstaande definitie maakt geen gebruik van de bijzondere vorm van de afstandsfunctie van de Euclidische ruimte, en gaat dus ongewijzigd over op willekeurige (pseudo-)metrische ruimten.

Begrensde functie

Een reële functie $f$ heet begrensd als haar waardebereik (beeld) een begrensde deelverzameling van $\mathbb {R}$ is, t.t.z. als er getallen $m<M$ bestaan zodat $\forall x:m\leq f(x)\leq M$. De kleinst mogelijk bovengrens $M$ heet supremum van $f$, de grootst mogelijke ondergrens $m$ is het infimum van $f$.

Deze definitie van begrensdheid gaan ongewijzigd over op willekeurige afbeeldingen tussen een verzameling $A$ en een (pseudo)metrische ruimte $X$.

Begrensde deelverzameling van een topologische vectorruimte

In een lokaal convexe topologische vectorruimte wordt de topologie voortgebracht door een scheidende familie seminormen. Elke seminorm brengt een pseudometriek $d(x,y)=\|x-y\|$ voort. In dergelijke ruimten zijn de volgende twee voorwaarden op een deelverzameling $A$ gelijkwaardig:

• $A$ is begrensd in elk van de pseudometrische ruimten afzonderlijk;
• Voor elke omgeving $V$ van de nulvector bestaat een schaalfactor $\alpha \in \mathbb {R} ^{+}$ zodat $A\subset \alpha V$.

De tweede voorwaarde heeft nog zin in algemene topologische vectorruimten, en geldt daar als definitie van begrensdheid.

Begrensde lineaire operator

Een lineaire afbeelding $T:V\to W$ tussen twee topologische vectorruimten $V$ en $W$ (operator) heet begrensd als ze begrensde delen van $V$ afbeeldt op begrensde delen van $W$.

Als $V$ en $W$ Banachruimten zijn, dan is dit gelijkwaardig met de eis dat $T$ continu is. In het algemeen is elke continue lineaire operator begrensd, maar niet omgekeerd.

Essentieel begrensd

Als het domein van een functie de structuur van een maatruimte $(A,{\mathcal {A}},\mu )$ draagt, zijn we geïnteresseerd in de vraag of de functie begrensd is "op een nulverzameling na". Men noemt een functie $f:A\to \mathbb {C}$ essentieel begrensd als er een begrensde functie bestaat waaraan ze bijna overal gelijk is:

$\|f\|_{\infty }=\inf _{N\in {\mathcal {A}},\mu (N)=0}\sup _{\omega \in \Omega \setminus N}|f(\omega )|<\infty .$

Bovenstaande uitdrukking heet het essentieel supremum van $f$. Het is het supremum van de absolute waarde van $f$ op eventuele nulverzamelingen na. Equivalentieklassen van essentieel begrensde functies vormen de ruimte $L^{\infty }$ (zie Lp-ruimte).