Bernoulli-verdeling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Bernoulli-verdeling
kansfunctie
Verdelingsfunctie
Parameters 0<p<1\, (reëel)
q\equiv 1-p\, 
Drager k=\{0,1\}\,
kansfunctie 
 \begin{matrix}
 q & \mbox{voor }k=0 \\p~~ & \mbox{voor }k=1
 \end{matrix}
Verdelingsfunctie 
 \begin{matrix}
 0 & \mbox{voor }k<0 \\q & \mbox{voor }0<k<1\\1 & \mbox{voor }k>1
 \end{matrix}
Verwachtingswaarde p\,
Mediaan N/A
Modus \textrm{max}(p,q)\,
Variantie pq\,
Scheefheid \frac{q-p}{\sqrt{pq}}
Kurtosis \frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}
Entropie -q\ln(q)-p\ln(p)\,
Moment-
genererende functie
q+pe^t\,
Karakteristieke functie q+pe^{it}\,
Portaal  Portaalicoon   Wiskunde

In de kansrekening en de statistiek is de Bernoulli-verdeling, genoemd naar de Zwitserse wiskundige Jakob Bernoulli, een discrete kansverdeling die een experiment beschrijft met als enige uitkomsten succes of mislukking. Zo'n experiment heet ook wel een alternatief. Als de stochastische variabele X de waarde 1 aanneemt bij succes en 0 bij mislukking, heeft deze een Bernoulli-verdeling.

Een Bernoulli-experiment kan onder andere worden gezien als het opgooien van een munt waarbij één van de zijden op succes duidt. De munt is dan zuiver als p een waarde van 0.5 heeft.

De kansfunctie is

p_X(1) = P(X = 1) = 1 - p_X(0) = p \,.

hierin is p de kans op succes.

De kansfunctie kan ook geschreven worden als:

 f(k;p) = \left\{\begin{matrix} p & \mbox {als }k=1, \\
1-p & \mbox {als }k=0, \\
0 & \mbox {anders.}\end{matrix}\right.

De verwachtingswaarde van een Bernoulli-toevalsvariabele X is

E(X)=p\,

en zijn variantie is

\textrm{var}(X)=p(1-p)\,.

De Bernoulli-verdeling is een lid van de exponentiële familie.

Verwante verdelingen[bewerken]

  • Wanneer X_1,\cdots,X_n onafhankelijke, identiek verdeelde toevalsgrootheden zijn, alle Bernoulli-verdeeld met kans op succes p, dan is Y = \sum_{k=1}^n X_k binomiaal verdeeld met parameters n en p.