Bernoulligetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
De eerste Bernoulli-getallen gegeven door de Riemann-zèta-functie.

In de wiskunde zijn Bernoulli-getallen een reeks van rationale getallen met diepe verbindingen naar de getaltheorie. Een Bernoulli-getal Bn wordt gedefinieerd als de factor B_n in de volgende reeksontwikkeling:

\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n }{n!}x^n.

Dit betekent dat:

B_n=\left[\frac{d^n}{dx^n}\frac{x}{e^x-1}\right]_{x=0}.

Bernoulli-getallen spelen een belangrijke rol in de getaltheorie en hoewel zij gemakkelijk te berekenen zijn, is er geen eenvoudige beschrijving van deze getallen. Ze komen voor in Taylorreeksexpansies van de tangens en de hyperbolische tangens-functies en in de formule van Euler-Maclaurin. Ook zijn ze nauw verbonden met de waarden voor de Riemann-zèta-functie voor negatieve gehele getallen.

De eerste veertien Bernoulli-getallen zijn:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Bn 1 −1/2 1/6 0 −1/30 0 1/42 0 −1/30 0 5/66 0 −691/2730 0 7/6

Geschiedenis[bewerken]

Vroege geschiedenis[bewerken]

Een pagina uit Seki Kowa's Katsuyo Sampo (1712), waar binomiale coëfficiënten en Bernoulli-getallen worden getabelleerd

De Bernoulli-getallen zijn geworteld in de vroege geschiedenis van de berekening van sommen van geheeltallige machten, een onderwerp dat al sinds de oudheid de interesse heeft van wiskundigen.

Methoden om de som van de eerste n positieve gehele getallen, kwadraten en kubussen te berekenen waren weliswaar bekend, maar men kende nog geen echte 'formules', alleen beschrijvingen in woorden (een beetje te vergelijken met een recept uit een kookboek). Onder de grote wiskundigen uit de oudheid, die zich met deze problemen bezig hielden, waren de Oude-Grieken Pythagoras (ca. 572-497 v.Chr.), Archimedes (287-212 v.Chr.), de Indiër, Aryabhata ((476 n.Chr.), en Abu Bakr al-Karaji (overleden 1019, Perzië) en Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham (965-1039, Egypte).

Tijdens de late zestiende- en vroege zeventiende eeuw boekten wiskundigen aanzienlijke vooruitgang. In het westen speelden de Engelsman Thomas Harriot (1560-1621), de Duitser Johann Faulhaber (1580-1635), de Fransman, Pierre de Fermat (1601-1665) en zijn collega Blaise Pascal (1623-1662) allen een belangrijke rol.

Thomas Harriot lijkt de eerste te zijn geweest die bij formules voor het afleiden en schrijven van formules voor sommen van machten gebruik maakte van symbolische notatie, maar zijn berekeningen gingen niet verder dan tot de vierde macht. in zijn boek uit 1631, Academia Algebrae, gaf Johann Faulhaber formules voor sommen tot de 17e macht, veel hoger dan iemand vóór hem, maar ook hij gaf geen algemene formule.

Bernoulli[bewerken]

De Zwitserse wiskundige Jakob Bernoulli (1654-1705) was de eerste, die zich het bestaan ​​realiseerde van een enkele reeks van constanten B0, B1, B2, ..., die zorgde voor een uniforme formule voor alle sommen van machten. De vreugde die Bernoulli ervoer, toen hij het patroon ontdekte om snel en eenvoudig de coëfficiënten van zijn formule te berekenen voor de som van de c-e machten voor elk positief geheel getal c, kan worden afgelezen uit zijn onderstaande commentaar. Hij schreef:

“Met de hulp van deze tabel kostte het mij minder dan een kwartiertje om te vinden dat de som van de tiende machten van de eerste 1000 getallen gelijk is aan 91.409.924.241.424.243.424.241.924.242.500”

Bernoulli's resultaat werd in 1713 postuum gepubliceerd in Ars Conjectandi. Onafhankelijk daarvan, en mogelijk eerder, zijn de Bernoulli-getallen ook door de Japanse wiskundige Seki Kōwa ontdekt. Ook zijn resultaten werden postuum, in dit geval in 1712, gepubliceerd. In tegenstelling tot Bernoulli maakte Seki Kōwa voor zijn methode echter geen gebruik van een formulevorm.

Bernoulli's formule voor de sommen van machten is de meest bruikbare en veralgemeenbare formulering tot nu toe. De coëfficiënten in de formule van Bernoulli worden nu Bernoulli-getallen genoemd, dit in navolging van de 18e-eeuwse wiskundige Abraham de Moivre.

Bernoulli in verhouding tot Faulhaber[bewerken]

De formule van Bernoulli wordt soms ook wel de formule van Faulhaber genoemd, dit naar Johann Faulhaber die weliswaar opmerkelijke manieren vond om de som van machten te berekenen, maar die nooit de formule van Bernoulli heeft opgesteld. Om de formule van Faulhaber de formule van Bernoulli te noemen, doet onrecht aan Bernoulli en verbergt tegelijkertijd het genie van Faulhaber aangezien de formule Faulhaber op zich efficiënter is dan de formule van Bernoulli. Volgens Knuth werd een strikt bewijs van de formule van Faulhaber in 1834 voor het eerst gepubliceerd door Carl Jacobi. Donald E. Knuths concludeerde na een diepgaande studie over de formule van Faulhaber:

“Faulhaber heeft de Bernoulli-getallen nooit ontdekt; dat wil zeggen dat hij zich nooit heeft gerealiseerd dat een enkele reeks van constanten B0, B1, B2, ... zou kunnen voorzien in de eenvorm

 \quad \sum n^m = \frac 1{m+1}\left( B_0n^{m+1}-\binom{m+1}1B_1n^m+\binom{m+1} 2B_2n^{m-1}-\cdots +(-1)^m\binom{m+1}mB_mn\right)

voor alle sommen van machten. Hij heeft bijvoorbeeld nooit het feit genoemd dat bijna de helft van de coëfficiënten nul bleek te zijn, nadat hij zijn formules voor  \sum n^m voor veeltermen in N had geconverteerd naar veeltermen in n".

Reconstructie van de 'Summae Potestatum'[bewerken]

Jakob Bernoulli's Summae Potestatum, 1713

De Bernoulli-getallen werden door Jakob Bernoulli in 1713 geïntroduceerd in zijn postuum uitgegeven boek Ars Conjectandi. De belangrijkste formule kan men terugvinden in de tweede helft van de overeenkomstige facsimile. De constante coëfficiënten, door Bernoulli aangeduid als A, B, C en D, komen in de notatie die nu gebruikelijk is overeen met A = B2, B = B4, C = B6, D = B8. In de uitdrukking c·c-1·c-2·c-3 worden de kleine puntjes als groeperingssymbolen gebruikt, niet als de tekens voor vermenigvuldiging.

Gebruik makend van de huidige terminologie zijn deze uitdrukkingen van deze uitingen vallende faculteiten  c^{\underline{k}}. De faculteitnotatie k! als een verkorte notatie voor 1 × 2 × ... × k werd pas 100 jaar later geïntroduceerd. Het integraalsymbool aan de linkerkant gaat terug op Gottfried Wilhelm Leibniz, die dit symbool in 1675 introduceerde als een lang uitgestrekte S voor "summa" (som). Leibniz onderhield nauwe contacten met Jakob Bernoulli. De letter n aan de linkerkant is niet een index van sommatie, maar geeft de bovengrens van het bereik van de sommatie, die moet worden opgevat als 1, 2, ..., n. Al deze informatie tezamen betekent dat een wiskundige de formule van Bernoulli vandaag de dag voor positieve c waarschijnlijk zal schrijven als:

 \sum_{0 < k \leq n} k^{c} = \frac{n^{c+1}}{c+1}+\frac{1}{2}n^c+\sum_{k \geq 2}\frac{B_{k}}{k!}c^{\underline{k-1}}n^{c-k+1}.

In feite suggereert deze formule dwingend om B1 = ½ te zetten, wanneer men van de zogenaamde 'archaïsche' opsomming, die alleen de even-indices 2, 4 gebruikt, ... overschakelt naar de moderne vorm (meer over verschillende conventies in de volgende paragraaf). Meest opvallend in deze context is het feit dat de vallende faculteit c^{\underline{k-1}}

voor k = 0 een waarde heeft van

\frac{1}{c +1}.

Eerste computeralgoritme[bewerken]

In een aantekening uit 1842 van Ada Byron wordt een algoritme beschreven om Bernoulli-getallen door een computer te genereren.

Definitie[bewerken]

De Bernoulli-getallen werden ontdekt in verband met sommen van de volgende vorm voor vaste waarden van n:

\sum_{k=0}^{m-1} k^n = 0^n + 1^n + 2^n + \cdots + {(m-1)}^n

Zo'n som is een polynoom in m van de graad n + 1, waarvan de coëfficiënten in relatie staan tot de Bernoulli-getallen, volgens wat bekendstaat als de formule van Faulhaber:

\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{\binom{n+1}{k}} B_k m^{n+1-k}

Hierbij is \tbinom{n+1}{k} een combinatie.

Berekening[bewerken]

Bernoulli-getallen kunnen worden uitgerekend met behulp van de volgende recursieve relatie:

B_0 = 1\,

en voor n > 0 is:

\sum_{k=0}^n{\binom{n+1}{k}}B_k = 0.

De volgende laat zich dus uit de vorige berekenen via:

B_n=-\frac 1{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}B_k

Het blijkt dat Bn = 0 wanneer n oneven en ≥ 3 is.

Bernoulli-getallen komen voor in de Taylorreeks-ontwikkeling van de tangens en hyperbolische tangensfuncties, in de formule van Euler-Maclaurin en in de Riemann-zeta-functie.

Verband met de zeta-functie[bewerken]

Het verband met de zeta-functie wordt gegeven door:

\zeta(1-n)=-\frac{B_n}{n}.