Bernoulligetal

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Een Bernoulligetal B_n is een getal dat wordt gedefinieerd als de factor $B n$ in de volgende reeksontwikkeling:

$\frac{x}{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n }{n!}x^n$ .

Dit betekent dat:

$B_n=\left[\frac{d^n}{dx^n}\frac{x}{e^x-1}\right]_{x=0}$ .

De Bernoulligetallen zijn rationale getallen, genoemd naar Jakob Bernoulli door Abraham de Moivre. Zij spelen een belangrijke rol in de getaltheorie en hoewel zij gemakkelijk te berekenen zijn, is er geen eenvoudige beschrijving van deze getallen. Ze zijn nauw verbonden met de Riemann-zeta-functie voor negatieve gehele getallen.

De eerste elf Bernoulligetallen zijn:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B_n	$1$	$-\tfrac12$	$\tfrac16$	$0$	$-\tfrac{1}{30}$	$0$	$\tfrac{1}{42}$	$0$	$-\tfrac{1}{30}$	$0$	$\tfrac{5}{66}$

[bewerk] Geschiedenis

De Bernoulligetallen werden in Europa voor het eerst bestudeerd door Jakob Bernoulli, naar wie zij later door Abraham de Moivre genoemd zijn. Onafhankelijk daarvan, en mogelijk eerder, zijn zij ontdekt door de Japanse wiskundige Seki Takakazu. In een aantekening uit 1842 van Ada Byron wordt een algoritme beschreven om Bernoulligetallen door een computer te genereren.

De Bernoulligetallen werden ontdekt in verband met sommen van de volgende vorm voor vaste waarden van n:

$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = 0^n + 1^n + 2^n + \cdots + {(m-1)}^n$

Zo'n som is een polynoom in m van de graad n + 1, waarvan de coëfficiënten in relatie staan tot de Bernoulligetallen, volgens wat bekend staat als de formule van Faulhaber:

$\sum_{k=0}^{m-1} k^n = {1\over{n+1}}\sum_{k=0}^n{\binom{n+1}{k}} B_k m^{n+1-k}$

Hierbij is $\tbinom{n+1}{k}$ een combinatie.

[bewerk] Berekening

Bernoulligetallen kunnen worden uitgerekend met behulp van de volgende recursieve relatie:

$B_0 = 1\,$

en voor m > 0 is:

$\sum_{k=0}^n{\binom{n+1}{k}}B_k = 0$ .

De volgende laat zich dus uit de vorige berekenen via:

$B_n=-\frac 1{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}B_k$

Het blijkt dat B_n = 0 wanneer n oneven en ≥ 3 is.

Bernoulligetallen komen voor in de Taylorreeks-ontwikkeling van de tangens en hyperbolische tangensfuncties, in de formule van Euler-Maclaurin en in de Riemann-zeta-functie.