Propositielogica

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De propositielogica is een tak van logica die zich bezighoudt met geldige redeneringen in de vorm van proposities. Dit zijn uitspraken of beweringen die ofwel waar of ofwel onwaar zijn. Voorbeelden hiervan zijn Wikipedia is een encyclopedie en Wicky heeft een noormannenhelm op. In de propositielogica kunnen de proposities alleen waar of onwaar zijn, dit in tegenstelling tot meerwaardige logica's waarbij een propositie ook andere waarden kan hebben, zoals bij de propositie Wicky vindt Wikipedia een interessante encyclopedie. In vergelijking met andere types van logica is een propositielogica eenvoudig van opbouw(structuur,grammatica) maar beperkt in uitdrukkingsmogelijkheid.

Inhoud 1 Proposities 2 Connectieven 2.1 Voorbeelden 3 Logische wetten 4 Onderzoeken en bewijzen van formules 4.1 Waarheidstabel 4.2 Semantisch Tableau 5 Valkuilen van de implicatie 5.1 Conversationele implicatuur

[bewerk] Proposities

Een propositie (betekenisvolle uitspraak of bewering) kan enkelvoudig zijn, maar ook samengesteld zijn uit twee of meer andere proposities. Proposities worden samengesteld met behulp van zogeheten connectieven ook wel booleaanse operatoren of junctoren genoemd. Een propositie zonder connectieven wordt een atoom genoemd.

Men kan proposities aanduiden met een letter, zoals:

A: Morgen schijnt de zon

B: We gaan morgen picknicken

In de samengestelde propositie:

Als A, dan B,

wordt de eerste propositie (A) de hypothese of antecedent genoemd en de tweede (daaropvolgende) propositie (B) de conclusie of consequent.

[bewerk] Connectieven

De propositielogica kent de volgende connectieven om proposities samen te stellen:

• negatie (ontkenning): ~A of ¬A ("niet"A)
• conjunctie: A^B (A "en" B)
• disjunctie: AvB (A "of" B)
• implicatie (gevolgtrekking): A→B ("als" A "dan" B)
• equivalentie (gelijkwaardigheid): A↔B (A "dan en slechts dan als" B)

[bewerk] Voorbeelden

AvB is de uitspraak "Morgen schijnt de zon of we gaan morgen picknicken"

A^B is de uitspraak "Morgen schijnt de zon en we gaan morgen picknicken"

A→B is de uitspraak "Als morgen de zon schijnt, gaan we morgen picknicken"

¬A is de uitspraak "Morgen schijnt de zon niet"

De bewering AvB is waar als tenminste een van de twee beweringen waar is. De bewering is dus ook waar als beide beweringen waar zijn, iets wat in natuurlijke taal meestal niet zo bedoeld wordt. Dus er geldt:

"1=1 v 2=2" is waar,

"1=1 v 1=2" is waar, maar

"1=2 v 2=1" is niet waar.

De implicatie → heeft niets te maken met causaliteit. De formule A→B betekent niet dat we morgen gaan picknicken omdat de zon schijnt. Het beschrijft eerder een soort toevallige samenloop van omstandigheden. De formule hoeft niet eens waar te zijn. Het is niet meer dan een formule.

[bewerk] Logische wetten

Natuurlijk zijn de volgende uitspraken waar:

A→A (als morgen de zon schijnt, schijnt morgen de zon)

(AʌB)→(AvB) (als morgen de zon schijnt en we gaan morgen picknicken, dan gaan we morgen picknicken of schijnt morgen de zon).

Dit geldt natuurlijk niet alleen voor de bovengedefinieerde uitspraken A en B, maar voor elk tweetal uitspraken A en B. We noemen een dergelijke uitspraak bewijsbaar (of afleidbaar) en dit wordt symbolisch weergegeven door ├.

├A→A

├(AʌB)→(AvB)

├Av¬A (Wet van het uitgesloten derde, deze geldt bij de klassieke propositielogica, maar niet bij de intuitionistische propositielogica)

We kunnen voor de ├ ook een of meer proposities plaatsen; die gelden dan als hypothese, en {A,B,C}├D betekent: uit de hypothesen A, B en C is D afleidbaar.

Enkele belangrijke logische wetten zijn de wetten van De Morgan:

¬(AvB)↔(¬Aʌ¬B)

¬(AʌB)↔(¬Av¬B)

Jan Łukasiewicz bewees in 1930 dat het mogelijk is om de bovenstaande wetten af te leiden op basis van slechts drie axioma's

A→(B→A)

(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))

(¬A→¬B)→(B→A)

in combinatie met de modus ponens:

A,A→B├B

Bovendien geldt ook:

(A→B)↔(¬AvB)

Dit is gemakkelijk af te leiden uit de waarheidstabellen die hieronder staan beschreven.

[bewerk] Onderzoeken en bewijzen van formules

[bewerk] Waarheidstabel

Een handige manier om een logische formule te bewijzen, is het opstellen van een waarheidstabel waarbij we iedere combinatie van waarheidswaarden van de variabelen afzonderlijk bekijken. Een logische wet is er een formule die bij elke combinatie de waarheidswaarde waar heeft. De variabelen voor formules geven we hier aan met de hoofdletters A, B, C, ... en de mogelijke waarheidswaarden van deze variabelen zijn waar (T voor true) en onwaar (F voor false). De waarheidswaarden 0 (de propositie is onwaar) en 1 (de propositie is waar) kunnen ook gehanteerd worden. Vandaar dat men spreekt van de binaire logica. Meerdere proposities kunnen dezelfde waarheidstabel opleveren. In dat geval spreekt men van logisch equivalentie (naar analogie met gelijkheid in de verzamelingenleer).

A	¬ A
T	F
F	T

A	B	A B	A B	A → B	A ↔ B
F	F	F	F	T	T
F	T	F	T	T	F
T	F	F	T	F	F
T	T	T	T	T	T

Een nadeel van een waarheidstabel bij het onderzoeken van een complexe logische stelling zoals A → (B ¬C) is dat het aantal mogelijke combinaties van de verschillende variabelen (hier A, B en C) exponentieel toeneemt met het aantal variabelen in de stelling. De waarheidstabel van een stelling met 8 variabelen zou 2⁸=256 rijen tellen.

Hieronder volgt een uitgewerkt voorbeeld waarbij we de proposities A (Morgen schijnt de zon) en B (We gaan morgen picknicken) gebruiken:

Omstandigheden	Bewering	Negatie
met invloed op bewering	A	niet A ¬A
	Morgen schijnt de zon	Morgen schijnt de zon niet

Omstandigheden	Bewering	Bewering	Conjunctie	Disjunctie	Implicatie	Equivalentie
met invloed op bewering	A	B	A en B A B	A of/en B A B	Als A dan B A → B	A dan en slechts dan als B A ↔ B
	Morgen schijnt de zon	We gaan morgen picknicken	Morgen schijnt de zon en gaan we picknicken	Morgen schijnt de zon of gaan we picknicken	Als morgen de zon schijnt gaan we picknicken	We picknicken morgen uitsluitend als de zon schijnt

[bewerk] Semantisch Tableau

Een semantisch tableau onderzoekt een stelling door de implicaties van een stelling te ontleden. Als een stelling waar is, wat betekent dat voor de waarheidswaarde van de variabelen in de stelling? Als A B waar is, dan moeten zowel A als B waar zijn. Als A → B waar is, dan moeten A en B allebei waar zijn, of A is niet waar en de waarde van B maakt niet uit. Op deze manier kan een boom getekend worden die een complexe formule opsplitst in steeds kleinere delen, totdat duidelijk is welke waarden de variabelen aan moeten nemen om de stelling waar te maken. Semantische Tableaus worden vaak gebruikt in combinatie met het bewijs uit het ongerijmde om te bewijzen dat een stelling volgt uit een aantal hypothesen.

[bewerk] Valkuilen van de implicatie

Iets diepgaanders (A en B zoals boven gedefinieerd):

Stel dat gegeven (en dus WAAR) zijn de uitspraken A → B en A. Wat valt hieruit te concluderen? Nou: B natuurlijk, immers, als gegeven is dat we morgen gaan picknicken, in het geval dat morgen de zon schijnt (A → B) en bovendien dat morgen de zon schijnt, dan gaan we DUS picknicken morgen.

Stel nu dat gegeven (en dus WAAR) zijn de uitspraken A → B en ¬B. Wat valt hieruit te concluderen? Even nadenken...

Wel, ¬A. Immers, stel dat morgen de zon schijnt. Gegeven is dat áls morgen de zon schijnt, dat we dan gaan picknicken morgen. Dus we gaan morgen picknicken. Hee, maar gegeven was ook dat we morgen niet gaan picknicken (¬B). Hier hebben we blijkbaar te maken met een tegenspraak. En hoe komt dat, wie is de boosdoener? De aanname dat morgen de zon schijnt natuurlijk. Dus blijkbaar schijnt morgen de zon niet. Oftewel: ¬A. Deze manier van bewijzen wordt overigens een 'bewijs uit het ongerijmde' genoemd.

[bewerk] Conversationele implicatuur

Tenslotte... Stel dat gegeven (en dus WAAR) zijn de uitspraken A → B en ¬A. Wat valt daaruit te concluderen? Even nadenken...

Niets! Misschien denk je dat je daaruit ¬B kunt concluderen, maar dat kan niet. Het is een misverstand te denken dat A → B impliceert dat ¬A → ¬B. In het dagelijks leven, in onze taal, is dat vaak wél zo. Bijvoorbeeld als een vader tegen zijn kind zegt: "Als je je gedraagt, krijg je een snoepje". Hiermee bedoelt de vader natuurlijk ook: "Als je je niet gedraagt, krijg je geen snoepje". In de formele logica is dat echter niet zo. A → B zegt niet meer dan dat A B impliceert.

Kijk maar eens naar de uitspraak A → B met A en B als volgt:

A: x is een getal groter dan 10

B: x is een getal groter dan 5

A → B: Als x een getal is dat groter is dan 10 dan is x een getal dat groter is dan 5.

Is daaruit het volgende te concluderen?

¬A → ¬B: Als x een getal is dat niet groter is dan 10, dan is x een getal dat niet groter is dan 5

Nee, want x zou bijvoorbeeld 8 kunnen zijn; inderdaad niet groter dan 10, maar wél groter dan 5.

Zo'n gevolgtrekking die in het dagelijks spraakgebruik wel gemaakt wordt en als normaal beschouwd, maar niet geldig is in de propositielogica, wordt wel een conversationale implicatuur genoemd.