Bewijs door oneindige afdaling

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Een bewijs door oneindige afdaling is een manier om een wiskundig bewijs te leveren. Dit type bewijs kan worden toegepast bij aftelbare welgeordende verzamelingen, met name de natuurlijke getallen.

Men bewijst het niet bestaan van een element uit die verzameling met een bepaalde eigenschap, door aan te tonen dat als er zo'n element bestaat, er ook een kleiner element moet bestaan met die eigenschap. Zo ontstaat een oneindige keten van elementen kleiner dan het veronderstelde element, terwijl er maar eindig veel van dergelijke elementen zijn.

Voorbeeld van een bewijs door oneindige afdaling is het volgende bewijs dat wortel 2 irrationaal is, waarin de techniek wordt gebruikt in een bewijs uit het ongerijmde: Stel dat wortel 2 rationaal is, dan zijn er natuurlijke getallen p en q zodat

\sqrt{2}=\frac{p}{q}.

Er geldt nu

2q^2=p^2.

Maar dat betekent dat het natuurlijke getal p even is, en dus is p2 een viervoud. Maar dan is 2q2 kennelijk een viervoud, waaruit blijkt dat ook q even is.

We kunnen dus twee natuurlijke getallen aanwijzen, p'=p/2 en q'=q/2, kleiner dan p resp. q, zodat \sqrt{2}=\frac{p'}{q'}. Dit levert oneindige afdaling en dus een tegenspraak.

Het gestelde is dus onjuist, en dus is wortel 2 irrationaal.