Bilineaire vorm

In de wiskunde is een bilineaire vorm op een vectorruimte V een bilineaire afbeelding V × V → F, waar F het veld van scalairen is. Dat wil zeggen dat een bilineaire vorm een functie B: V × V → F is, die lineair is in elk argument afzonderlijk:

$\begin{array}{l} \text{1. }B(u + u',v) = B(u,v) + B(u',v)\text{,} \\[4pt] \text{2. }B(u,v + v') = B(u,v) + B(u,v')\text{,} \\[4pt] \text{3. }B(\lambda u,v) = B(u, \lambda v) = \lambda\,B(u,v)\text{.} \\[4pt] \end{array}$

Elke bilineaire vorm op Fⁿ kan worden uitgedrukt als

$B(\textbf{x},\textbf{y}) = \textbf{x}^\top A\textbf{y} = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i y_j$

waar A een n × n matrix is,

De definitie van een bilineaire vorm kan eenvoudig worden uitgebreid naar modulen over een commutatieve ring, waar lineaire afbeeldingen worden vervangen door modulehomomorfismen. Wanneer F het veld van de complexe getallen C is, is men vaak meer geïnteresseerd in sesquilineaire vormen, die vergelijkbaar zijn met bilineaire vormen, maar die conjugaat lineair in een argument zijn.