Binaire mathematische morfologie

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

Binaire Mathematische Morfologie is het specifiek toepassen van morfologische bewerkingen op binaire beelden. Praktisch gezien worden deze operaties vaak uitgevoerd en is het een ideale manier om het concept van een operatie weer te geven. Met de 4 basis operatoren kunnen verschillende bewerkingen worden uitgevoerd. Deze operatoren zijn: Dilatatie, Erosie, Sluiting en Opening. Bij een binair beeld kan iedere pixel een waarde hebben van 1 of 0. Er wordt beschouwd dat een binair beeld een verzameling is. Een pixel dat deel uitmaakt van de verzameling heeft een waarde 1 en een pixel dat geen deel uitmaakt van de verzameling heeft een waarde 0.

In binaire mathematische morfologie wordt een afbeelding gezien als een deelverzameling van een Euclidische ruimte \mathbb{R}^d voor een bepaalde dimensie d.

Definities[bewerken]

Om een Mathematische Morfologie toe te passen zijn er 3 elementen nodig, het invoer beeld, de operator en het structuur element. Een invoer beeld kan ieder binair beeld zijn. De meest voorkomende operatoren zijn:

  • Dilatatie \oplus
  • Erosie \ominus
  • Sluiting \bullet
  • Opening \circ
  • Hit-miss \otimes

Het laatste element is een structuurelement. Dit is een verzameling die meestal kleiner is dan het invoer beeld en bestaat uit slechts enkele pixels. De vorm en de positie van de oorsprong bepalen hoe het structuur element zal inwerken op het binaire invoer beeld.

Primaire operatoren[bewerken]

De verschillende operatoren kunnen worden opgedeeld in verschillende groepen. De primaire operatoren zijn 2 operatoren die aan de basis liggen van Binaire Mathematische Morfologie. Via deze primaire operatoren kunnen alle bewerkingen worden uitgevoerd op een binair beeld. Iedere bewerking kan worden herleid tot een reeks van primaire operatoren.

Dilatatie[bewerken]

Een voorbeeld van een dilatatie uitgevoerd met een vierkant structuurelement

Een dilatatie heeft als eigenschap dat objecten dikker worden, kleine gaten worden opgevuld en randen worden afgerond. Als A het invoer beeld is en B het structuur element kan de dilatatie worden gegeven als:

A \oplus B = \bigcup_{{\vec{b} \in B}} T_{{\vec{b}}}(A)

Een dilatatie wordt vaak gebruikt om gaten in een beeld op te vullen. Een gekend probleem is dat alles "dikker" wordt in de afbeelding wat nadelige resultaten oplevert.

Erosie[bewerken]

Een voorbeeld van een erosie uitgevoerd met een vierkant structuurelement

Een erosie is het tegenovergestelde van een dilatatie. Hierbij zal het object krimpen en dunnen lijnen en geïsoleerde pixels worden verwijderd. Als A het invoer beeld is en B het structuur element kan de erosie worden gegeven als:

 A \ominus N = \bigcap_{{\vec{b} \in B}} T_{{-\vec{b}}}(A)

Secundaire operatoren[bewerken]

Secundaire operatoren zijn het achtereenvolgens toepassen van een erosie of dilatatie met hetzelfde structuur element. De volgorde waarin de erosie en dilatatie gebeuren is zeer belangrijk. De meest voorkomende secundaire operatoren zijn de sluiting en de opening.

Sluiting[bewerken]

Een voorbeeld van een sluiting met een kruisvormig structuurelement

Een sluiting is een dilatatie gevolgd door een erosie met hetzelfde structuur element B uitgevoerd op een beeld A. Het effect van een sluiting is dat het de nadelige effecten van een dilatatie gedeeltelijk teniet worden gedaan. Als A het invoerbeeld is en B het structuur element kan de erosie worden gegeven als:

 A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B

Opening[bewerken]

Een voorbeeld van een opening met een kruisvormig structuurelement

Een opening is een erosie gevolgd door een dilatatie. Het effect van een sluiting is dat de nadelige effecten van een erosie gedeeltelijk te niet worden gedaan. Als A het invoerbeeld is en B het structuur element kan de erosie worden gegeven als:

 A \circ B = (A \ominus B) \oplus B

Eigenschappen van operatoren[bewerken]

De eigenschappen gebruik 2 belangrijke bewerkingen die hier worden gegeven:

  • Het complement dit wil zeggen dat: A^c = \{ \vec{r} | A_f(\vec{r}) = 0\}
  • De Reflectie dit wil zeggen dat: \breve{B} = \{ \vec{b} | - \vec{b} \in B \}

Hier zijn er een aantal eigenschappen van de basis binaire morfologische operatoren (dilatatie, erosie, opening en sluiting):

  • De dualiteit van de operatoren wiskundig gegeven door:  (A \oplus B)^c = A^c \ominus \breve{B}
  • De idempotentie zegt dat verschillende secundaire operatoren na elkaar uitvoeren geen effect heeft, wiskundig uitgedrukt als:  A \bullet B = ( A \bullet B) \bullet B
  • Anti-extensieve operatoren zijn operatoren die het huidige beeld verminderen, extensieve operatoren zijn operatoren die een beeld verdikken. Wiskundig kan men de operatoren ranschikken van anti-extensief tot extensief: A \ominus B \subseteq A \circ B \subseteq A \subseteq A \bullet B \subseteq A \oplus B
  • Alle operatoren zijn commutatief buiten de erosie de structuur elementen zijn onderling ook commutatief.
  • Alle operatoren zijn distributief als ook de structuur elementen.
  • Alle operatoren zijn associatief als ook de structuur elementen.

Referenties[bewerken]

Digital Image Processing by Rafael C. Gonzalez and Richard E. Woods, ISBN 0-13-505267-X