Black-Scholes

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

De term Black-Scholes verwijst naar drie gerelateerde concepten binnen de financiële wiskunde. Het betreft onderzoek van de wetenschappers Fischer Black en Myron Scholes. De hoofdzaak is dat ze een formule hebben ontwikkeld waarmee optieprijzen berekend kunnen worden. Voor hun werk heeft Myron Scholes in 1997 de Prijs van de Zweedse Rijksbank voor economie (bekend als Nobelprijs voor de Economie) ontvangen. Black was reeds overleden maar werd postuum vermeld. De Nobelprijs kregen ze voor het feit dat in hun model, optieprijzen onafhankelijk zijn van de mate van risico en daarmee ook onafhankelijk van de mate risico-aversie, een groot theoretisch probleem in de financiële wiskunde.

  • Het Black-Scholes-model is een wiskundig model van een effectenmarkt, waarin de prijs van het effect een stochastisch proces is.
  • De Black-Scholes-partiële differentiaalvergelijking is de vergelijking waaraan de prijs van een financiële afgeleide op het onderliggende effect moet voldoen.
  • De Black-Scholes-formule is het resultaat van de Black-Scholes-partiële differentiaalvergelijking voor Europese put- en callopties.

Stochastisch proces[bewerken]

Het model veronderstelt dat de prijs van het onderliggende effect (meestal is dit een aandeel) een stochastisch proces (toevalsproces) volgt waarvan de logaritme een Brownse beweging is. Een dergelijk proces St heet ook wel meetkundige Brownse beweging en voldoet aan de volgende stochastische differentiaalvergelijking:

 \mathrm{d}S_t = \mu S_t\,\mathrm{d}t + \sigma S_t\,\mathrm{d}W_t \,

met Wt Browniaans.

De Black-Scholes-formule[bewerken]

Voor bovenstaand stochastisch proces leidt men een partiële differentiaalvergelijking af. In het geval van een Europese calloptie heeft die vergelijking de volgende oplossing.

 C(S,t) = S\Phi(d_1) - Ke^{-r(T - t)}\Phi(d_2) \,

met

 d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}}
 d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T - t}.

De formule voor de prijs van een putoptie kan hieruit afgeleid worden middels de "put-callpariteit".

Betekenis van de termen in de formule[bewerken]

r = rente
sigma = volatiliteit
S = koers van het aandeel
K = uitoefenprijs optie op het aandeel
T-t = tijd tot expiratie van de optie