Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Een blokdiagonale matrix is een vierkante blokmatrix met vierkante blokken op de hoofddiagonaal en elk ander blok gelijk aan de nulmatrix . Een blokdiagonale matrix A heeft de vorm
A
=
[
A
11
0
⋯
0
0
A
22
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
n
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\0&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}}
waarin Akk een vierkante matrix is.
Voor de determinant en het spoor gelden de volgende eigenschappen:
d
e
t
A
=
d
e
t
A
11
⋅
⋯
⋅
d
e
t
A
n
n
{\displaystyle {\rm {det}}A={\rm {det}}A_{11}\cdot \dots \cdot {\rm {det}}A_{nn}}
en
s
p
o
o
r
A
=
s
p
o
o
r
A
11
+
⋯
+
s
p
o
o
r
A
n
n
{\displaystyle {\rm {spoor}}A={\rm {spoor}}A_{11}+\dots +{\rm {spoor}}A_{nn}}
De inverse van een blokdiagonale matrix is gelijk aan de blokdiagonale matrix van de inverse individuele blokmatrices, oftewel
(
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
)
−
1
=
(
A
1
−
1
0
⋯
0
0
A
2
−
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
−
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}^{-1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}^{-1}\end{pmatrix}}}
Indien de determinant van een blokdiagonale matrix gelijk is aan nul, zijn de individuele determinanten ook gelijk aan nul.
