Bodediagram

Bodediagram voor een laagdoorlaatfilter van eerste orde

Het Bodediagram, genoemd naar Hendrik Wade Bode (1905 - 1982), is gewoonlijk een combinatie van twee diagrammen: een van de logaritmische magnitude tegenover de frequentie, en een van de faseverschuiving tegenover de frequentie. In beide diagrammen wordt de frequentie logaritmisch weergegeven.

Het diagram wordt onder andere gebruikt bij het ontwerpen van filters in de elektronica. Meer algemeen worden Bodediagrammen gebruikt bij lineaire tijdinvariante systemen.

Effecten van polen en nullen van een systeem op de Bodeplot

Gebruik makend van de ligging van polen en nullen van een LTC-systeem kan de Bodeplot van de frequentierespons geschetst worden. De aanwezigheid van polen en nullen heeft bepaalde gevolgen voor het amplitudeverloop van de Bodeplot en voor het faseverloop. Bij de amplitude wordt niet de waarde van de amplitude veranderd maar de helling van het verloop van die amplitude. Deze helling op de grafiek wordt uitgedrukt in dB per decade. Een decade is een frequentieverhoging met een factor tien, of dus een toename met 1 in $\log(\omega)$. Het voordeel van een Bodeplot is dat een dergelijke schets van het verloop van amplitude met grote nauwkeurigheid kan worden uitgevoerd door middel van enkele aaneensluitende rechte lijnstukken (zie voorbeeld verder).

Effect van een reële pool op de Bode-plot

Wegens de eis op stabiliteit kunnen polen enkel in de strikt negatieve helft van het complexe vlak liggen. Beschouw dus een eerste orde systeem met systeemfunctie

$H(s) \, = \, \frac{1}{10^{-3}s \, + \, 1} \!$

Dit systeem heeft een pool in s = -1000 en een nul op oneindig. De bijhorende frequentierespons is dus

$H(j\omega) \, = \, \frac{1}{10^{-3} \, j\omega \, + \, 1} \!$

Voor hoekfrequenties lager dan $\omega \, = \, 1000$ kan de $\omega$-factor in de noemer verwaarloosd worden tegenover de factor 1, zodat in eerste benadering, de frequentierespons gelijk wordt aan :

$H(j\omega) \, = 1 \!$

De amplitude in dB en de fase worden dus respectievelijk :

$A(\omega) \, = \, 0 \!$

$\varphi(\omega) \, = \, 0 \!$

(het getal 1 moeten we hier immers beschouwd worden als een complex getal, en heeft bijgevolg een argument van nul graden).

Voor hoekfrequenties hoger dan $\omega \, = \, 1000$ kan de factor 1 in de noemer verwaarloosd worden tegenover de $\omega$-factor, zodat in eerste benadering, de frequentierespons gelijk wordt aan :

$H(j\omega) \, = \frac{1}{j \,10^{-3} \omega} = - \frac{j.1000}{\omega} \!$

De amplitude in dB en de fase worden dus respectievelijk :

$A(\omega) \, = 60 - 20 \log(\omega) \!$

$\varphi(\omega) \, = \, -\pi/2 \!$

Besluit : een reële enkelvoudige pool doet in een Bode-plot de helling van de amplituderespons met 20 dB/decade afnemen tegenover de helling op lagere frequentie, en laat de faserespons met 90° dalen.

Effect van een reële nul op de Bode plot

Nullen van een LTC-systeem kunnen overal in het complexe vlak liggen, en kennen dus niet de beperking die polen wel hebben. Op analoge manier als hierboven kan worden aangetoond :

Besluit : een reële enkelvoudige nul doet in een Bode-plot de helling van de amplituderespons met 20 dB/decade stijgen tegenover de helling op lagere frequentie. De faserespons zal met 90° stijgen indien de nul negatief is, en met 90° dalen indien de nul positief is.

Een speciaal geval is wanneer een nul in de oorsprong ligt zoals bij een hoogdoorlaatsysteem. Neem het systeem met systeemfunctie :

$H(s) \, = \, \frac{s}{10^{-3}s \, + \, 1} \!$

met als frequentierespons :

$H(j\omega) \, = \, \frac{j\omega}{10^{-3}j\omega \, + \, 1} \!$

Voor frequentie veel lager dan 1000 kan dit worden benaderd als:

$H(j\omega) \, = \, j\omega \,$

met als amplitude in dB en als fase:

$A(\omega) \, = \, 20 \log(\omega)$

$\varphi(\omega) \, = \, \pi/2 \!$

Een nul in de oorsprong veroorzaakt dus een helling van 20dB/decade in het amplitudeverloop van de Bodeplot, en doet de fase starten op +90°. Bij een dubbele nul in de oorsprong zal de helling dus starten met 40 dB/decade, en de fase met 180°.

Effecten van complex toegevoegde polen

Ter hoogte van een koppel complex toegevoegde polen zal de helling van het amplitudeverloop in een Bodeplot afnemen met 40 dB/decade, en zal de fase afnemen met 180°. Deze effecten zijn dus gewoon het dubbel van het effect van een enkelvoudige reële pool. Ter hoogte van het complexe polen $a\pm jb$ betekent: op een frequentie $\sqrt(a^2+b^2)$. Daar kan overigens wel een lokale piek ontstaan indien de polen ondergedempt zijn, en dus dicht bij de imaginaire as van het complexe vlak liggen. Indien de polen op de imaginaire zouden liggen zou dit piek oneindig hoog zijn, en zou fysisch gezien zuivere resonantie optreden.

Effecten van complex toegevoegde nullen

Ter hoogte van een koppel complex toegevoegde nullen zal de helling van het amplitudeverkoop in een Bodeplot toenemen met 40 dB/decade, en zal de fase afnemen met 180° indien de nullen aan de linkerkant van de imaginaire as liggen, en toenemen met 180° indien ze rechts liggen. Deze effecten zijn dus gewoon het dubbel van het effect van een enkelvoudige reële pool. Bij complex toegevoegde nullen op de imaginaire as (zoals bij een 2de orde bandstopsysteem) zal de amplitude lokaal naar min-onendig gaan op de Bode plot.

Samenvatting

	Reële pool	Reële positieve nul	Reële negatieve nul	Nul in de oorsprong
Helling A(db/decade)	20 minder	20 meer	20 meer	start met +20
Faserespons	daalt met 90°	daalt met 90°	stijgt met 90°	start op 90°

Bij complexe polen nullen worden deze effecten verdubbeld. Bij polen en nullen met een hogere multipliciteit worden deze effecten evenredig vermenigvuldigd.

Voorbeeld

Bodediagram (amplitude) voor een 2de orde hoogdoorlaatsysteem

Bodediagram (fase) voor een 2de orde hoogdoorlaatsysteem

Het systeem met systeemfunctie $H(s) = \frac{s^2}{s^2+1200s+1000000} \!$

en dus: $H(j\omega) = \frac{-\omega^2}{-\omega^2+1200j\omega+1000000} \!$

heeft twee nullen in de oorsprong en een koppel complex toegevoegde polen:

$z_{1,2} \, = \, 0 \, \, \, \, \, p_{1,2} \, = \, -600 \pm 800j \!$

De polen zullen dus hun aanwezigheid laten voelen vanaf 1000 rad/s. De amplitude zal op lage frequentie starten met een stijgende helling van 40 dB/decade gezien de dubbele nul in de oorsprong. De werkelijke positie van deze hellende lijn in de Bodeplot wordt bepaald door het feit dat de lijn ter hoogte van de polen moet aansluiten op het tweede deel van de plot. Ter hoogte van de polen, dus op frequentie 1000, zal de bestaande helling (die 40 dB/decade bedraagt) afnemen met 40db/decade vanwege de complexe polen. Het amplitudeverloop in de Bodeplot kantelt dus naar een horizontaal verloop. De hoogte van dit niveau is makkelijk te vinden want als de frequentie naar oneindig stijgt, wordt de frequentierespons in limiet gelijk aan 1, en dus in Bodeplot gelijk aan nul. De bodeplot is dus te benaderen door twee rechte lijnen, die op elkaar aansluiten op $\omega=1000$:

• Een stijgende lijn met een helling van 40 dB/decade beneden $\log(\omega)=3 \!$
• Een constant niveau op hoogte 0 db, boven $\log(\omega)=3 \!$

Het faseverloop start door de dubbele nul in de oorsprong op 180° en neemt dan af tot nul graden ter hoogte van $\log(\omega)=3 \!$. Nevenstaande figuren tonen de werkelijke (rood) en benaderde (blauw) amplitude- en faserespons van dit systeem. Omdat de polen voldoende dempen ontstaat er ter hoogte van de poolfrequentie van 1000 rad/s geen lokale piek. De werkelijke faserespons verloopt veel geleidelijker dan de benadering. Daarom heeft men de gewoonte, wanneer men de faserespons schetst, de overgang geleidelijk te tekenen vanaf een frequentie die een factor tien lager ligt dan de poolfrequentie tot een factor tien hoger, zodat een getrouwer beeld bekomen wordt.