Bol (lichaam)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Ga naar: navigatie, zoeken
Een bol

Een bol is een driedimensionaal lichaam waarvan alle punten, die het oppervlak vormen, binnen een bepaalde afstand, de straal, liggen van een vast punt, het middelpunt. Een bol is het driedimensionale analogon van een cirkelschijf, en kan bekomen worden als omwentelingslichaam bij draaiing van een cirkelschijf om een middellijn.

Het volume van een bol met straal r is gelijk aan 4πr3 / 3. Het oppervlak van een bol wordt sfeer genoemd, en deze heeft een oppervlakte gelijk aan 4πr2.

In de hogere wiskunde, veralgemeent men het begrip van een bol (en zijn rand, de sfeer) naar willekeurige dimensies. De terminologie is een beetje verwarrend. Een bol in willekeurige dimensie noemt men meestal een bal (maar ook wel volle bol), terwijl een sfeer in willekeurige dimensie meestal bol genoemd wordt (maar ook wel gewoon sfeer).

Inhoud

[bewerken] Wiskundige vergelijking

Het oppervlakte van de bol aan de hand van r is

A = 4 . \pi . r^2 \,

dus de straal van de bol bij een bepaalde oppervlakte is dus

r = \left(\frac{A}{4\pi} \right)^\frac{1}{2}

Het volume van de bol aan de hand van r is

V = \frac{4}{3}\pi r^3

dus de straal van de bol bij een bepaald volume is

r = \left(V \frac{3}{4\pi}\right)^\frac{1}{3}

[bewerken] Cartesiaanse Vergelijking

In Cartesische coördinaten kan een bol met straal r en middelpunt (x0,y0,z0) weergegeven worden door de vergelijking:

(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 \leq r^2.

En als deze vergelijking uitgeschreven wordt:

\!x^2+y^2-z^2-2x_0x-2y_0y+2z_0z \leq d (met d=r^2-x_0^2-y_0^2+z_0^2)

[bewerken] Parametervergelijking

\, x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \varphi
\, y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \varphi \qquad (0 \leq \varphi \leq 2\pi \mbox{ and } 0 \leq \theta \leq \pi ) \,
\, z = z_0 + r \cos \theta \,

[bewerken] Differentiaalvergelijking

Alle sferen worden beschreven door de differentiaalvergelijking x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0

[bewerken] Eigenschappen

De bol heeft als eigenschap dat hij van alle mogelijke driedimensionale vormen met dezelfde inhoud de kleinst mogelijke oppervlakte heeft. Door het aannemen van deze vorm wordt een minimale energie verkregen uit de oppervlaktespanning. Als gevolg hiervan zijn veel voorwerpen in de natuur bolvormig.

Licht of geluid afkomstig van een puntbron plant zich in een homogeen medium in alle richtingen even snel voort. Dit duidt men aan met bolvormige uitstraling of bolvormige voortplanting.

[bewerken] Voorbeelden

Perfect bolvormige voorwerpen bestaan niet. Voorbeelden van bolvormen in de natuur zijn:

Zware hemellichamen zoals de aarde zijn min of meer bolvormig, maar door de middelpuntvliedende kracht, veroorzaakt door de draaiing van de aarde om zijn as, is de aarde aan de polen enigszins afgeplat. Toch is hij "ronder" dan een biljartbal. Ook de andere planeten en de sterren zijn min of meer bolvormig.

In veel sporten gebruikt men een bolvormig speelobject, een bal.

Het differentiëren van de formule voor de inhoud van een bol (\frac{4 \pi r^3}{3}\,) resulteert in de formule voor de oppervlakte van een bol: 4\pi r^2 \,.

[bewerken] Zie ook

Wikimedia Commons
 
Persoonlijke instellingen
Boek maken