Boom van Pythagoras
De boom van Pythagoras is een fractal bedacht in 1942 door de Nederlandse wiskundeleraar Albert E. Bosman en vernoemd naar Pythagoras vanwege de driehoeksverhoudingen met de kenmerkende rechte hoek. De fractal wordt opgebouwd door vierkanten en lijkt op de vorm van een dwarsdoorsnede door een broccoli of bloemkool. Tijdens zijn tewerkstelling bij AEG door de Duitsers, waar hij duikbootonderdelen moest ontwerpen, tekende hij in plaats daarvan deze boom, als vorm van stille sabotage.
 |
Constructie[bewerken | brontekst bewerken]
De bouw van de boom van Pythagoras begint met een vierkant. Op dit vierkant worden onder een hoek van 45 graden vervolgens twee kleinere vierkanten gezet. De lengtes van de zijden van deze kleinere vierkanten zijn een factor ½√2 kleiner dan die van het basisvierkant. Zo valt een hoekpunt van het linkervierkant samen met een hoekpunt van het rechtervierkant. Dezelfde procedure wordt vervolgens ad infinitum ("tot in het oneindige") recursief toegepast op steeds weer nieuwe vierkanten. De afbeelding hieronder toont de eerste vier iteraties in dit constructieproces voor de boom van Pythagoras.
 |
 |
 |
 |
| Orde 0 | Orde 1 | Orde 2 | Orde 3 |
Eigenschappen[bewerken | brontekst bewerken]
Vanaf orde 4 liggen twee vierkanten, een van de linker- en een van de rechterhelft van de boom, met een gemeenschappelijke zijde tegen elkaar. Vanaf orde 5 overlappen delen van de boom elkaar.
Als de zijde van het eerste vierkant 1 is, is de hoogte van de boom 4. De onderkanten van de linker- en de rechterhelft van de boom (exclusief de stam) reiken naar beneden tot een hoogte van 1/4. De breedte van de boom is 6. Als overlappende delen van de boom enkelvoudig worden geteld, is de oppervlakte van de boom dus kleiner dan 24, of nauwkeuriger, kleiner dan 22,75. Als overlappende delen van de boom meervoudig worden geteld, is de oppervlakte van de boom oneindig.
Een nadere begrenzing volgt door het bovenstaande met een schaalfactor toe te passen op de "schuine bomen" met als stam de één maat kleinere vierkanten. Dit geeft als buitenste begrenzing een oneindig voort te zetten gebroken rechte met steeds een draaiing van 45 graden en een één maat kleiner lijnstuk. De bovenste begrenzing heeft een lengte 3. De binnenste uiteinden van de lijnstukken onderaan liggen op een afstand 1 van de stam, recht onder het uiteinden van de bovenste begrenzing van de boom. De limiet van deze gebroken rechte ligt daar verticaal tussen, 16 maal zo dicht bij het onderste punt als bij het bovenste, dus op een hoogte van 1/4 + 3,75/17 = 8/17.