Brachistochrone kromme

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken
Voorbeeld van een Brachistochrone kromme tussen punten A en B

Een brachistochrone kromme (Grieks: βραχιστος, brachistos, kortste en χρονος, chronos, tijd), of een curve van snelste daling, is de kromme lijn tussen twee punten die door een wrijvingsloos voorwerp het snelst wordt afgelegd. In het bovenste punt is de beginsnelheid nul en terwijl het voorwerp naar het tweede punt beweegt, is de enige kracht die op het voorwerp werkt, de zwaartekracht.

Probleem[bewerken]

Het brachistochrone probleem is welke curve de brachistochrone kromme is tussen twee punten A en B, waarvan A hoger ligt dan B. Het blijkt dat de gevraagde lijn een cycloïde is, Er is precies één (omgekeerde) cycloïde die in A begint met een verticale helling en die ook door B gaat. De brachistochrone kromme hangt dus niet af van de massa van het voorwerp of van de valversnelling.

Het probleem kan worden opgelost door gebruik te maken van functionaalanalyse en in het bijzonder de variatierekening.

Merk op dat als het voorwerp een beginsnelheid krijgt, of als er sprake is van wrijving, de ideale lijn afwijkt van de hierboven beschreven vorm.

Bewijs[bewerken]

Laat de gezochte kromme beschreven worden door de functie y = f(x) (krommen met verticale gedeelten kunnen direct uitgesloten worden). Voor een stukje afgelegde weg ds langs de kromme geldt:

\mathrm{d}s = \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2}=\sqrt{1 + (y')^2}\ \mathrm{d}x.

Omdat de kinetische energie gelijk is aan de verloren potentiële energie, geldt voor de snelheid v:

v = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \sqrt{2gy}.

Uit de twee relaties volgt:

\mathrm{d}t = \sqrt{\frac{1+(y')^2}{2gy}}\ \mathrm{d}x.

Integratie levert voor de benodigde tijd T(y) om langs de kromme y van A naar B te komen:

T(y) = \int_{x_A}^{x_B}\sqrt{\frac{1+(y')^2}{2gy}}\ \mathrm{d}x,

waarin x_A en x_B de x-coördinaten van de punten A en B zijn.

Het gaat er dus om het minimum van de functionaal T te vinden. Volgens de Euler-Lagrange-vergelijking voldoen de stationaire punten aan de vergelijking:

\frac{\partial h}{\partial y}- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial h}{\partial y'}=0,

waarin h de integrand uit de functionaal is:

h = \sqrt{\frac{1+(y')^2}{2gy}}.

Invullen levert na enige berekening de differentiaalvergelijking:

\left( 1 + (y')^2 \right) y = C,

met als oplossing:

x(\theta) = a\left(\theta - \sin(\theta)\right)
y(\theta) = a\left(1 - \cos(\theta)\right),

wat een cycloïde voorstelt.

Functie[bewerken]

De kromme is in een coördinatenstelsel te berekenen met de volgende formule:

x = r \cdot (\theta - \sin(\theta))
y = r \cdot (\cos(\theta) - 1)

waarin r de straal van de zich "afrollende" cirkel voorstelt en \theta de hoek van de rollende cirkel die loopt van 0 tot 2\pi in radialen.

Geschiedenis[bewerken]

Galilei stelde in 1638 in zijn Due nuove scienze dat de oplossing van het brachistone probleem een boog van een cirkel was. Foutief, naar later bleek. Johann Bernoulli loste het probleem op door gebruik te maken van het - al eerder opgeloste - probleem van de tautochrone curve. Daarna stelde hij het als een probleem voor de lezers van de Acta Eruditorum in juni 1696. Vier wiskundigen reageerden met een oplossing: Isaac Newton, Jakob Bernoulli (Johanns broer), Gottfried Leibniz en Guillaume de l'Hôpital. Vier van de oplossingen (inclusief die van Johann Bernoulli - die van l'Hôpital ontbrak) werden gepubliceerd in het nummer van mei 1697.

In een poging om zijn broer te overtroeven, maakte Jakob Bernoulli een moeilijker versie van het brachistochrone probleem. Bij het oplossen hiervan ontwikkelde hij nieuwe methoden, die door Leonhard Euler werden verfijnd en onderdeel werden van wat hij in 1766 presenteerde als calculus. Joseph-Louis Lagrange werkte hier verder aan en dit resulteerde in wat wij nu de wiskundige analyse noemen.

Een andere rivaliteit, tussen Newton en Leibniz, droeg ook bij aan de ontwikkelingen. Beiden claimden dat ze het brachistochrone probleem als eerste hadden opgelost, en ze bleven over dit soort zaken ruziën tijdens de verdere ontwikkeling van de calculus.

Zie ook[bewerken]

Externe links[bewerken]