Brahmaguptamatrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de wiskunde is een Brahmaguptamatrix een matrix, opgesteld in 628 door de Indiase wiskundige Brahmagupta, met een van de volgende structuren:

B_+(x,y) = 
\begin{bmatrix}
x & y \\
ty & x \end{bmatrix}
\mbox{ of }
B_-(x,y) = 
\begin{bmatrix}
x & y \\
- ty & - x \end{bmatrix}
.

Dit kan worden samengevat als:

B(x,y,s) = 
\begin{bmatrix}
x & y \\
sty & sx \end{bmatrix}
,

waarin

s=\pm 1.

Dan is:

B_+(x,y) = B(x,y,1) en B_-(x,y) = B(x,y,-1)

Het product van twee Brahmaguptamatrices is weer een Brahmaguptamatrix, want:

B(x_1,y_1,s_1) B(x_2,y_2,s_2) = 
\begin{bmatrix}
x_1 & y_1 \\
s_1 ty_1 & s_1 x_1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_2 & y_2\\
s_2 ty_2 & s_2 x_2 \end{bmatrix} =
=
\begin{bmatrix}
x_1 x_2 +s_2 ty_1 y_2 & x_1 y_2 +s_2 y_1x_2 \\
s_1 ty_1 x_2 + s_1 s_2 tx_1y_2 & s_1 ty_1 y_2+ s_1 s_2 x_1 x_2 \end{bmatrix} =
=
\begin{bmatrix}
x_1 x_2 +s_2 ty_1 y_2 & x_1 y_2 +s_2 y_1x_2 \\
s_1 s_2 t(x_1 y_2 +s_2 y_1x_2) & s_1 s_2 (x_1 x_2 +s_2 ty_1 y_2) \end{bmatrix} =

B(x_1 x_2 +s_2 ty_1 y_2,x_1 y_2 +s_2 y_1x_2,s_1s_2).

De n-de macht van een Brahmaguptamatrix wordt geschreven als:

B_n = B^n = \begin{bmatrix}
x & y \\
ty & x \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix}
x_n & y_n \\
ty_n & x_n \end{bmatrix}.

Daarin zijn \ x_n en \ y_n polynomen in t die Brahmaguptapolynomen worden genoemd. Deze zijn ook voor negatieve gehele getallen gedefinieerd door:

B_{-n}=B^{-n} = \begin{bmatrix}
x & y \\
ty & x \end{bmatrix}^{-n} = \begin{bmatrix}
x_{-n} & y_{-n} \\
ty_{-n} & x_{-n} \end{bmatrix}.

Externe links[bewerken]