Brownse beweging (wiskunde)

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Ga naar: navigatie, zoeken

In de kansrekening is een Brownse beweging of Wienerproces (genoemd naar Norbert Wiener) een welbepaald stochastisch proces dat de statistische eigenschappen van het gelijknamige natuurkundige verschijnsel idealiseert (zie Brownse beweging). Het is een continu stochastisch proces met onafhankelijke, normaal verdeelde aangroeiingen.

Definitie[bewerken]

De Brownse beweging Wt is een stochastisch proces in continue tijd dat gekenmerkt wordt door de volgende eigenschappen:

  1. W0 = 0
  2. De paden tWt zijn bijna zeker continu
  3. Wt heeft onafhankelijke aangroeiingen, dus voor 0 ≤ s1 < t1s2 < t2 geldt Wt1 – Ws1 en Wt2 – Ws2 zijn onderling onafhankelijk
  4. Voor 0 ≤ s < t is Wt  – Ws N(0,t - s)-verdeeld.

Existentie[bewerken]

Bijna elk pad van de Brownse beweging is in alle tijdstippen continu en in geen enkel tijdstip differentieerbaar.

Het feit dat een dergelijk proces bestaat, ligt niet voor de hand. De twee belangrijkste resultaten die hiertoe aanleiding geven, worden meestal respectievelijk de stelling van Kolmogorov en de stelling van Kolmogorov-Prochorov genoemd. De eerste construeert een proces op de verzameling (niet noodzakelijk continue) afbeeldingen van \mathbb{R}^+ naar \mathbb{R}, de tweede toont aan dat de discontinue paden van dit proces bevat liggen in een nulverzameling.

Verband met stochastische wandeling[bewerken]

De Brownse beweging is het analogon, voor een continue tijdsparameter, van wat de stochastische wandeling betekent voor een discrete tijdsparameter.

Eigenschappen[bewerken]

De Brownse beweging is een Markovproces.

De Brownse beweging is een martingaal. Ook het proces W_t^2-t is een martingaal.

De paden \omega van de Brownse beweging zijn bijna zeker nergens differentieerbaar. Ze vertonen dus een extreem grillig karakter.

Wienerintegraal en Brownse brug[bewerken]

De integraal van stochastische variabelen ("functionalen") ten opzichte van de kansmaat P staat bekend als de Wienerintegraal.

De Brownse brug voor gegeven t\in\mathbb{R}^+ en x,y\in\mathbb{R} is een stochastisch proces dat op dezelfde universumverzameling \Omega gedefinieerd wordt, maar waarvan de hoger beschreven eindigdimensionale verdelingen verschillen in de zin dat de integraal over de veranderlijke x_n wegvalt, en dat n\geq2, x_0=x, x_n=y en t_n=t. Intuïtief komt de Brownse brug overeen met een Brownse beweging, conditioneel op de aankomst in een gegeven punt y op het tijdstip t.

Hogere dimensies[bewerken]

Een typisch pad van de driedimensionale Brownse beweging

De n-dimensionale Brownse beweging is gewoon het cartesisch product van n onafhankelijke kopieën van de gewone (eendimensionale) Brownse beweging.

Verband met partiële differentiaalvergelijkingen[bewerken]

Vele resultaten uit de theorie der lineaire partiële differentiaalvergelijkingen kunnen elegant en relatief eenvoudig worden geformuleerd in termen van de Brownse beweging. Het bekendste raakpunt tussen beide theorieën is het Feynman-Kac-formalisme. Daarin wordt de oplossing van de Schrödingervergelijking voor zuiver imaginaire tijdstippen gegeven in termen van de Wienerintegraal.

Daarnaast heeft Edward Nelson de Schrödingervergelijking zelf herschreven in termen van een stochastisch proces dat nauw verwant is met de Brownse beweging.

Tenslotte worden harmonische functies gekenmerkt door het feit dat ze de dichtheidsstroom van de Brownse beweging invariant laten. De algemene oplossing van het Dirichlet-randwaardeprobleem voor de Laplace-vergelijking wordt gegeven door een verwachtingswaarde in termen van de (meestal meerdimensionale) Brownse beweging, verschoven over een vector x, op het toevallige tijdstip T (inkomtijd) waarop de Brownse beweging de rand het eerst ontmoet

f(x)=E\left[f(X_T)\right]