Buckingham-π-theorema

Het Buckingham-π-theorema is een theorie binnen de dimensieanalyse. Het stelt dat een fysische vergelijking met n variabelen geschreven kan worden als een vergelijking met n - m dimensieloze parameters. Hierbij is m het aantal fundamentele dimensies (lengte, massa, tijd en dergelijke).

Stel dat de fysische variabelen worden gegeven door q₁ tot en met q_n en we een fysische vergelijking hebben als

$f(q_1, q_2, ..., q_i) = 0$

dan kan deze herschreven worden tot

$F(\Pi_1, \Pi_2, ..., \Pi_{n-m}) = 0$

Hierbij wordt $\Pi_i$ gegeven door:

$\Pi_i = q_1^{m_1} q_2^{m_2} ... q_n^{m_n}$

waarbij $m_i$ een rationaal getal is.

Het gebruik van $\Pi_i$ als dimensieloze parameters werd geïntroduceerd door Edgar Buckingham in een paper uit 1914.

Voorbeeld

In dit voorbeeld wordt een relatie gegeven voor de slingertijd van een slinger.

We nemen aan dat de slingertijd een functie is van de massa en de lengte van de slinger en de lokale valversnelling. De fysische variabelen zijn in dit geval T (slingertijd), m (massa), l (lengte slinger) en g (lokale valversnelling). In dit geval zijn er drie fundamentele dimensies, namelijk tijd (s), massa (kg), en lengte (m).

Voor de fysische vergelijking geldt dan

$f(T, m, l, g) = 0$

dit kan gegeven worden door

$F(\Pi) = 0$

waarbij

$\Pi = T^{m_1} m^{m_2} l^{m_3} g^{m_4}$

Door te kijken naar de dimensies kunnen we de waarden voor $m_i$ vinden. Merk op dat $\Pi$ dimensieloos is.

$0 = [s]^{m_1} [kg]^{m_2} [m]^{m_3} ([m]/[s]^2)^{m_4}$

hieruit volgt dat

$m_2 = 0$

$m_1 - 2 m_4 = 0$

$m_3 + m_4 = 0$

en dus dat $m_1 = 2$, $m_2 = 0$, $m_3 = -1$ en $m_4 = 1$.

Er geldt dus voor $\Pi$

$\Pi = T^2 g l^{-1}$

en dus geldt

$F(T^2 g l^{-1}) = 0$

Als we aannemen dat de nulpunten van F discreet zijn dus K₁, K₂ tot en met K_n dan geldt:

$T^2 g l^{-1} = K_i$

oftewel

$T = K \sqrt{l/g}$

Er is echter meer inzicht of een experiment nodig om aan te tonen dat in dit geval er maar één nulpunt is en dat geldt $K = 2 \pi$.